Soluzioni
  • Per capire se il fascio è un fascio di rette proprio o un fascio improprio è sufficiente scegliere due rette qualsiasi del fascio e intersecarle, se queste si intersecano il fascio è proprio e il suo centro è proprio il punto di intersezione:

    y=(2m-1)x+3m-5

    poniamo m=1 e m=2 e troviamo l'intersezione, facciamo il sistema, tra le due rette trovate:

    \left\{\begin{matrix}y=x-2\\y=3x+1\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=x-2\\x-2=3x+1\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=x-2\\-3=2x\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=x-2\\x=-\frac{3}{2}\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=-\frac{3}{2}-2\\x=-\frac{3}{2}\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=-\frac{7}{2}\\x=-\frac{3}{2}\end{matrix}

    Dunque il fascio è proprio e il suo centro è (-7/2;-3/2).

    Ora, per qualsivoglia valore di m, otteniamo una retta, quindi non dobbiamo escludere valori di m.

    Inoltre il fascio è definito proprio come l'insieme di rette ottenute al variare di m, quindi quelle ottenibili facendo fariare m sono proprio tutte e sole le rette del fascio. Se m fosse comparso a denominatore avremmo dovuto scartare alcuni valori, infatti non possiamo dividere per 0, ma ciò non accade.

    La retta del fascio perpendicolare a  x + 3y - 5=0 è quella con coefficiente angolare uguale al reciproco dell'opposto della retta data (vedi: rette perpendicolari). Prima di tutto troviamo il coefficiente angolare di x + 3y - 5=0 mettendola in forma esplicita:

    y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}

    \mbox{coefficiente angolare}=-\frac{1}{3}

    quindi dobbiamo fare in modo che il coefficiente che moltiplica x nel nostro fascio, cioè (2m-1) sia uguale a 3:

    2m-1=3

    m=2

    per ottenere la retta cercata è sufficiente sostituire m=2 nell'equazione del fascio:

    y=(2\cdot 2-1)x+3\cdot 2-5

    y=3x+1

    Risposta di Alpha
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