Disequazione fratta con valore assoluto e irrazionale

Question

Non riesco in questa disequazione fratta, con valore assoluto e irrazionale, e non ho idea del metodo di risoluzione. Mi aiutereste? (|2+x|)/(√(3+x)) ≤ 4

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Abbiamo la disequazione: (|2+x|)/(√(3+x)) ≤ 4 Imponiamo la condizione di esistenza. Nella disequazione appare una radice quadrata, dobbiamo imporre che il suo argomento sia maggiore o uguale a zero. Inoltre la radice si trova al denominatore, dobbiamo pretendere che essa sia diversa da zero. 3+x ≥ 0 c.e. della radice ; √(3+x) ne 0 c.e. della frazione Queste due condizioni si esprimono nell'unica disequazione 3+x , > , 0 ⇒ x , > ,-3 Se infatti l'argomento della radice è maggiore di zero allora la radice sarà certamente definita e positiva. Poiché al denominatore abbiamo una radice quadrata che restituisce esclusivamente valori positivi, possiamo moltiplicare membro a membro per √(3+x). Così facendo non si inverte il verso della disequazione irrazionale: |2+x| ≤ 4√(3+x) Questa disequazione è equivalente all'unione dei sistemi di disequazioni: |2+x| ≥ 0 sempre verificata ; (|2+x|)^2 ≤ (4√(3+x))^2 ; x , > ,-3 [ c.e.] U |2+x| , < , 0 ; 3+x , > ,0 Il secondo sistema è impossibile giacché il valore assoluto non può essere mai negativo. Concentriamoci quindi sul primo sistema. Per le proprietà del valore assoluto • , ,|2+x|^2 = |(2+x)^2| In sostanza, la potenza di un valore assoluto coincide con il valore assoluto della potenza. Inoltre: • , ,|(2+x)^2| = (2+x)^2 Osserva infatti che l'argomento del valore assoluto è certamente non negativo, essendo esso un quadrato. Per le proprietà della potenza di un prodotto inoltre: • , ,(4√(3+x))^2 = 4^2 (√(3+x))^2 = 16(3+x) Nell'ultimo passaggio ho semplicemente effettuato la semplificazione tra l'indice della radice con l'esponente. Grazie a queste considerazioni la disequazione (|2+x|)^2 ≤ (4√(3+x))^2 diventa: (2+x)^2 ≤ 16(3+x) Sviluppiamo il quadrato di binomio e il prodotto al secondo membro: x^2+4x+4 ≤ 48+16x Portiamo tutto al primo membro e sommiamo i termini simili: x^2-12 x-44 ≤ 0 Ecco questa è una disequazione di secondo grado completa, che ha per insieme soluzione: S_1 = 2(3-2√(5)) ≤ x ≤ 2(3+2√(5)) Questo insieme va intersecato con l'insieme x , > ,-3. Nota che la prima disequazione del sistema è sempre verificata, quindi non influirà nell'intersezione. In base al grafico otteniamo che la soluzione della disequazione è: S: 2(3-2√(5)) ≤ x ≤ 2(3+2√(5))