Soluzioni
  • Abbiamo la disequazione:

    \frac{|2+x|}{\sqrt{3+x}}\le 4

    Imponiamo la condizione di esistenza. Nella disequazione appare una radice quadrata, dobbiamo imporre che il suo argomento sia maggiore o uguale a zero. Inoltre la radice si trova al denominatore, dobbiamo pretendere che essa sia diversa da zero. 

    \begin{cases}3+x\ge 0&\mbox{ c.e. della radice}\\ \sqrt{3+x}\ne 0&\mbox{ c.e. della frazione}\end{cases}

    Queste due condizioni si esprimono nell'unica disequazione

    3+x\,\textgreater\, 0\implies x\,\textgreater\,-3

    Se infatti l'argomento della radice è maggiore di zero allora la radice sarà certamente definita e positiva.

    Poiché al denominatore abbiamo una radice quadrata che restituisce esclusivamente valori positivi, possiamo moltiplicare membro a membro per \sqrt{3+x}. Così facendo non si inverte il verso della disequazione irrazionale:

    |2+x|\le 4\sqrt{3+x}

    Questa disequazione è equivalente all'unione dei sistemi di disequazioni:

    \begin{cases}|2+x|\ge 0&\mbox{ sempre verificata}\\(|2+x|)^2\le (4\sqrt{3+x})^2\\ x\,\textgreater\, -3&[\mbox{ c.e.}]\end{cases}\cup\begin{cases}|2+x|\,\textless\, 0\\ 3+x\,\textgreater\,0\end{cases}

    Il secondo sistema è impossibile giacché il valore assoluto non può essere mai negativo. Concentriamoci quindi sul primo sistema.

    Per le proprietà del valore assoluto 

    \bullet\,\,|2+x|^2= |(2+x)^2|

    In sostanza, la potenza di un valore assoluto coincide con il valore assoluto della potenza. Inoltre:

    \bullet\,\,|(2+x)^2|= (2+x)^2

    Osserva infatti che l'argomento del valore assoluto è certamente non negativo, essendo esso un quadrato. 

    Per le proprietà della potenza di un prodotto inoltre:

    \bullet\,\,(4\sqrt{3+x})^2= 4^2 (\sqrt{3+x})^2=16(3+x)

    Nell'ultimo passaggio ho semplicemente effettuato la semplificazione tra l'indice della radice con l'esponente.

    Grazie a queste considerazioni la disequazione 

    (|2+x|)^2\le (4\sqrt{3+x})^2

    diventa:

    (2+x)^2\le 16(3+x)

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e il prodotto al secondo membro:

    x^2+ 4x+4\le 48+16x

    Portiamo tutto al primo membro e sommiamo i termini simili:

    x^2-12 x-44\le 0

    Ecco questa è una disequazione di secondo grado completa, che ha per insieme soluzione:

    S_1=2(3-2\sqrt{5})\le x\le 2(3+2\sqrt{5})

    Questo insieme va intersecato con l'insieme x\,\textgreater\, -3. Nota che la prima disequazione del sistema è sempre verificata, quindi non influirà nell'intersezione.

    disequazione-irrazionale

    In base al grafico otteniamo che la soluzione della disequazione è:

    S: 2(3-2\sqrt{5})\le x\le 2(3+2\sqrt{5})

    Risposta di Ifrit
  • Ti ringrazio! :)

    Risposta di Pippo
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