Soluzioni
  • Per svolgere lo studio della funzione

    f(x)=e^{2x^2-4x}

    occorre innanzitutto determinare il suo dominio: dal momento che non figurano funzioni patologiche (la funzione esponenziale è ben definita su tutto l'asse reale), possiamo affermare che il dominio coincide con l'insieme dei numeri reali.

    \mbox{Dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)

    Trovato l'insieme di esistenza, possiamo passare al punto successivo: determineremo le intersezioni con gli assi.

    Per ricavare le eventuali intersezioni con l'asse delle ascisse bisogna impostare il seguente sistema di equazioni:

    \begin{cases}y=0\\ y=e^{2x^2-4x}\end{cases}

    la cui risolvente associata non è altro che l'equazione esponenziale

    e^{2x^2-4x}=0

    che però risulta impossibile giacché l'esponenziale al primo membro è certamente positiva. Poiché la risolvente non ammette soluzioni, il sistema è impossibile e di conseguenza il grafico della funzione non interseca l'asse x.

    Per quanto concerne le intersezioni con l'asse delle ordinate bisogna impostare e risolvere il sistema:

    \begin{cases}x=0 \\ y=e^{2x^2-4x}\end{cases}

    Questo sistema può essere risolto procedendo con il metodo di sostituzione: rimpiazziamo 0 a ogni occorrenza di x nella seconda equazione e svolgiamo i calcoli che ne conseguono:

    \begin{cases}x=0\\ y=e^{2\cdot 0^2-4\cdot 0}=e^{0}=1\end{cases}

    L'unica soluzione del sistema è (x,y)=(0,1) e rappresenta il punto di intersezione tra l'asse delle ordinate e il grafico di f(x).

    Il passo successivo prevede di determinare gli insiemi in cui la funzione è positiva e quelli in cui è negativa: in altri termini dovremo studiare il segno della funzione.

    A questo proposito consideriamo la relazione f(x)>0 che si tramuta nella disequazione esponenziale

    e^{2x^2-4x}>0

    il cui insieme soluzione coincide con l'insieme su cui f(x) è positiva. Poiché è noto che la funzione esponenziale è positiva, possiamo affermare che la disequazione è soddisfatta per ogni x\in\mbox{Dom}(f), pertanto f(x) è sempre positiva sul proprio dominio.

    La parte semplice è conclusa: da qui in poi la difficoltà aumenta leggermente, infatti dobbiamo calcolare i famigerati limiti agli estremi del dominio.

    In questo caso i limiti da calcolare sono due:

    \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    Iniziamo dal primo:

    \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{2x^2-4x}=

    Osserviamo che all'esponente si genera la forma di indecisione [+\infty-\infty] che possiamo risolvere mettendo in evidenza l'infinito di ordine superiore.

    =\lim_{x\to-\infty}e^{x^2\left[2-\tfrac{4}{x}\right]}=[e^{+\infty\cdot 2}]=+\infty

    Si noti infatti che per x\to-\infty si ha che:

    - il termine \frac{4}{x} tende a zero;

    - il fattore 2-\frac{4}{x} tende a 2;

    pertanto x^2\left[2-\frac{4}{x}\right] esplode a +\infty.

    Procedendo con gli stessi passaggi, si dimostra che anche il limite per x\to +\infty è infinito:

    \\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}e^{2x^2-4x}= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}e^{x^2\left[2-\tfrac{4}{x}\right]}=+\infty

    Poiché i limiti divergono positivamente, la funzione non ammette alcun asintoto orizzontale; possono, però, esserci asintoti obliqui, a patto che esistano finiti e diversi da zero i limiti che definiscono il loro coefficiente angolare:

    \\ m_{1,2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\\ \\ =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{e^{2x^2-4x}}{x}=\begin{cases}+\infty&\mbox{se} \ x\to +\infty\\ \\ -\infty&\mbox{se}\ x\to-\infty\end{cases}

    Si noti che in questo caso si genera la forma di indecisione \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che risolviamo osservando che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alla potenza al denominatore.

    In entrambi i casi, i limiti non sono finiti, pertanto la funzione non ammette nemmeno asintoti obliqui.

    Procediamo con il calcolo della derivata di f(x). Attenzione! Dovremo usare la regola per la derivata della funzione esponenziale, in combinazione con la regola per la derivata di una funzione composta!

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[e^{2x^2-4x}]= \\ \\ \\ =e^{2x^2-4x}\frac{d}{dx}(2x^2-4x)=

    Spezziamo la derivata della differenza nella differenza delle derivate

    =e^{2x^2-4x}\left(\frac{d}{dx}[2x^2]-\frac{d}{dx}[4x]\right)=

    portiamo le costanti moltiplicative fuori dal simbolo di derivazione

    =e^{2x^2-4x}\left(2\frac{d}{dx}[x^2]-4\frac{d}{dx}[x]\right)=

    e infine deriviamo le potenze.

    \\ =e^{2x^2-4x}\left(2\cdot 2x-4\right)= \\ \\ =e^{2x^2-4x}\left(4x-4\right)

    Con la derivata siamo in grado di ricavare gli intervalli di monotonia di f(x). Basta attenersi alla regola:

    - se la derivata di f(x) è positiva in un intervallo I, allora f(x) è una funzione strettamente crescente in I;

    - se la derivata di f(x) è negativa in un intervallo J, allora f(x) è una funzione strettamente decrescente in J.

    Impostiamo quindi la disequazione

    f'(x)>0\ \ \ \to \ \ \ (4x-4)e^{2x^2-4x}>0

    per determinare gli intervalli contenuti nel dominio in cui la derivata è positiva.

    Per risolvere la disequazione

    (4x-4)e^{2x^2-4x}>0

    occorre studiare i segni dei fattori che compongono il primo membro: studieremo il segno dei fattori F_1=4x-4 e F_{2}=e^{2x^2-4x}.

    \\ F_1>0 \ : \ 4x-4>0 \ \ \ \to \ \ \ 4x>4 \ \ \ \to \ \ \ x>1 \\ \\ F_2>0 \ : \ e^{2x^2-4x}>0 \ \ \ \to \ \ \ x\in\mathbb{R}

    Aiutandoci con la tabella dei segni scopriamo che la derivata prima è:

    - positiva sull'intervallo (1,+\infty);

    - nulla per x=1;

    - negativa sull'intervallo (-\infty, 1).

    Di conseguenza la funzione di partenza f(x):

    - è strettamente crescente in (1,+\infty);

    - è strettamente decrescente in (-\infty, 1);

    - ha un unico punto stazionario in x=1 e rappresenta un punto di minimo assoluto, il cui minimo associato è

    m=f(1)=e^{2\cdot 1^2-4\cdot 1}=e^{-2}

    Calcoliamo la derivata seconda, mediante la quale riusciremo a determinare gli intervalli in cui f(x) è una funzione convessa e quelli in cui la funzione è concava. Ricordiamo infatti che:

    - se la derivata seconda di f(x) è positiva in un intervallo I, allora f(x) è convessa su I;

    - se invece la derivata seconda è negativa nell'intervallo I, allora f(x) è concava su I.

    Preoccupiamoci del calcolo di f''(x), penseremo in un secondo momento al suo segno.

    Per definizione, la derivata seconda è la derivata della derivata prima, ossia

    f''(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}[(4x-4)e^{2x^2-4x}]=

    Calcoliamo la derivata del prodotto con la relativa regola:

    =\frac{d}{dx}[4x-4]e^{2x^2-4x}+(4x-4)\frac{d}{dx}[e^{2x^2-4x}]=

    A questo punto deriviamo 4x-4 e la funzione esponenziale

    \\ =4e^{2x^2-4x}+(4x-4)e^{2x^2-4x}\frac{d}{dx}[2x^2-4x]=\\ \\ \\ =4e^{2x^2-4x}+(4x-4)e^{2x^2-4x}(4x-4)=

    Il calcolo della derivata seconda è praticamente concluso, i passaggi che seguono hanno il solo scopo di semplificarne l'espressione.

    Raccogliamo totalmente il fattore comune e^{2x^2-4x}

    \\ =e^{2x^2-4x}\left[4+(4x-4)(4x-4)\right]= \\ \\ =e^{2x^2-4x}\left[4+(4x-4)^2\right]=

    sviluppiamo il quadrato del binomio 4x-4 e infine svolgiamo i calcoli che ne conseguono

    \\ =e^{2x^2-4x}\left[4+(16x^2-32x+16)\right]= \\ \\ =e^{2x^2-4x}\left[16x^2-32x+20\right]= \\ \\ =4e^{2x^2-4x}\left[4x^2-8x+5\right]

    In definitiva

    f''(x)=4e^{2x^2-4x}[4x^2-8x+5]

    Per determinare gli intervalli di concavità e di convessità occorre studiare il segno della derivata seconda: impostiamo quindi la disequazione

    f''(x)>0 \ \ \ \to \ \ \ 4e^{2x^2-4x}[4x^2-8x+5]>0

    e risolviamola esaminando i segni dei fattori che compongono il primo membro.

    F_1>0 \ : \ 4e^{2x^2-4x}>0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    (Ancora una volta abbiamo sfruttato la positività della funzione esponenziale).

    F_2>0 \ : \ 4x^2-8x+5>0 \ \ \ \to \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

    Osservazione: la disequazione di secondo grado è soddisfatta per ogni x reale perché il discriminante associato è negativo e il coefficiente di x^2 è positivo, pertanto il polinomio 4x^2-8x+5 è positivo.

    Poiché la derivata seconda è prodotto di espressioni positivi, essa lo sarà a sua volta per ogni x\in\mathbb{R}, pertanto possiamo concludere che f(x) è una funzione convessa per ogni x\in\mathbb{R}.

    L'analisi è conclusa.

    Se vuoi vedere l'andamento della funzione, puoi tranquillamente avvalerti del tool sul grafico di funzione online.

    Risposta di Ifrit
 
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