Soluzioni
  • Ciao nea16, il tempo di fare lo studio di funzione e arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • La funzione 

    f(x)= e^{2x^2-4x}

    ha come dominio \mathbb{R}. E' continua in tutto il suo dominio ovviamente :) 

    Il limite che hai calcolato è corretto. 

    \lim_{x\to -\infty}e^{2x^2-4x}= \lim_{x\to -\infty}e^{x^2(2-4/x)}= +\infty

    Ottimo!

    Hai anche capito che vi è la possibilità che ci sia un asintoto obliquo, a questo punto verifichiamo se è vero:

    m=\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to -\infty}\frac{e^{2x^2-4x}}{x}

    Ora è chiaro che la funzione esponenziale " trascina " all'infinito l'intera frazione, ma per mostrarlo utilizziamo De l'Hopital:

    \lim_{x\to -\infty}(4x-4)e^{2x^2-4x}= -\infty

    m non è finito quindi non può rappresentare il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo. La funzione quindi non presenta asintoto obliquo sinistro.

     

    Vediamo cosa succede per x\to +\infty

    \lim_{x\to \infty} e^{2x^2-4x}= \lim_{x\to \infty}e^{x^2\left(2-\frac{4}{x}\right)}= +\infty.

    Anche in questo caso vi è la possibilità che vi sia un asintoto obliquo (destro), ma procedendo come prima, ci accorgiamo che in realtà non ve n'è alcuna traccia :)

     

    La funzione inoltre è positiva, proprio per la presenza dell'esponenziale, ed inoltre non ha zeri, pertanto non interseca l'asse X.

    Per l'intersezione con l'asse Y è sufficiente valutare la funzione in 0:

    f(0)= 1

    Il punto di intersezione con l'asse Y è quindi P(0, 1).

    La derivata prima è:

    f'(x)= e^{-4x+2x^2}(4x-4)

    Il punto che annulla la derivata prima è dato dall'equazione:

    f'(x)=0\iff e^{2x^2-4x}(4x-4)=0

    L'esponenziale è positivo, l'unico fattore che può annullarsi è 4x-4, e lo fa quando x=1. Per il teorema di Fermat, esso è un possibile punto di massimo o di minimo (o nessuno dei due :) ). Per capire la natura del punto studiamo il segno che dipende sempre dal polinomio 4x-4. In particolare:

    f'(x)>0

    se e solo se 

    4x-4>0

    se e solo se

    x>1

    Quindi abbiamo che:

    Se x è maggiore di uno, la derivata prima è positiva, di conseguenza la funzione è crescente.

    Se x è minore di uno, la derivata prima è negativa, la funzione di partenza decresce.

    Da questo capiamo che x=1 è un punto di minimo assoluto per la funzione. Il minimo vale: f(1)= \frac{1}{e^2}

    La derivata seconda risulta invece:

    f''(x)= 4(5-8x+4x^2)e^{2x^2-4x}

    Che si annulla se e solo se si annulla il polinomio:

    5-8x+4x^2=0 mai perché il discriminante è negativo. Inoltre il coefficiente direttore è positivo (cioè il coefficiente di x^2 è positivo), di conseguenza il polinomio è sempre positivo. Poiché anche l'esponeziale è positiva allora la derivata seconda è positiva per ogni x nel dominio. Ciò ci assicura che la funzione di partenza è convessa.

     

    I'm Dead

    Risposta di Ifrit
  • lim_{xto -infty}(4x-4)e^{2x^2-4x}= -infty

    m non è finito quindi non può rappresentare il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo. La funzione quindi non presenta asintoto obliquo sinistro.

     

    Se sostituisco -∞ ho (4(∞)-4)e^2(∞)^2-4(∞) operando come esponente  porta e^(∞+∞) e va bene ma se faccio x--> ∞  sopra nell'esponente  mi porta  e^( ∞-∞)

    xche ho e^( 2(∞)^2-4(∞)

    poi (∞) alla seconda è infinito positivo questo - 4 per infinito è -∞ e quindi avro ∞-∞ è quello non è una forma indeterminata ??  non se si faccio capire il mio dubbio forse sto sbagliando in fare i calcoli . ?? oppure basta che uno dei due limiti  sia ∞ per dire che non esiste il asintoto obliquo??

     

    Risposta di nea16
  • Mmm, non mi è chiaro quale sia esattamente il tuo problema ma non disperare ;)

    Partiamo da qui

    \lim_{x\to -\infty}(4x-4)e^{2x^2-4x}=-\infty

    Perché questo risultato? Lo vediamo passaggio per passaggio:

    \lim_{x\to -\infty}(4x-4)e^{2x^2-4x}

    Il problema è l'esponente dell'esponenziale perché presenta una forma indeterminata [\infty -\infty]. Dobbiamo eliminarla in qualsiasi modo possibile.

    Eccone uno:

    \lim_{x\to -\infty}(4x-4)e^{x^2(2-4/x)}

    Ora osserva che quando x tende a - infinito, 4/x tende a zero, dunque 2-4/x tende a 2. D'altro canto però x^2 tende a più infinito quindi tutto l'esponete tende a più infinito, così come l'esponenziale stessa. L'altro fattore invece tende a meno infinito.

    \lim_{x\to -\infty}(4x-4)e^{2x^2-4x}= (-\infty) (+\infty)= -\infty

    È un po' più chiaro adesso?

    Risposta di Ifrit
  • Adesso ho capito tutto stavo facendo troppa confusione . grazie mille :)

    Risposta di nea16
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