Soluzioni
  • Disponiamo di una trasformazione lineare T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 tale da soddisfare le seguenti condizioni

    \\ T(1,1,1)=(1,3,2,2) \\ \\ T(1,0,1)=(2,13,4,4) \\ \\ T(1,0,0)=(1,-1,-1,-1)

    Dopo aver verificato che esiste ed è unica, dobbiamo calcolare la matrice rappresentativa di T rispetto alle basi canoniche.

    Per quanto concerne lo studio dell'esistenza e dell'unicità di T basta osservare che i vettori preimmagine, ossia

    \mathbf{v}_1=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,0,0)

    formano una base di \mathbb{R}^3, tant'è vero che sono tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione tre.

    Alla luce di ciò, per il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare, T esiste ed è unica.

    Procediamo, ora, al calcolo della matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di \mathbb{R}^3 e di \mathbb{R}^4.

    Matrice associata a T rispetto alle basi canoniche

    In generale, la matrice associata a un'applicazione lineare F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m rispetto alle basi \mathcal{B} di \mathbb{R}^n e \mathcal{B}' di \mathbb{R}^m è quella matrice che ha per colonne le coordinate rispetto alla base \mathcal{B}' delle immagini secondo F dei vettori di \mathcal{B}.

    In particolare, se \mathcal{B}' è la base canonica di \mathbb{R}^m, allora la matrice rappresentativa di F ha per colonne le immagini secondo F dei vettori di \mathcal{B}.

    Ciò premesso, indichiamo con

    \\ \mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\} = \\ \\ = \{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

    la base canonica di \mathbb{R}^3.

    La matrice che rappresenta T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 in riferimento alle basi canoniche di dominio e codominio ha per colonne i vettori

    T(\mathbf{e}_1) \ \ ; \ \ T(\mathbf{e}_2) \ \ ; \ \ T(\mathbf{e}_3)

    Calcoliamoli sfruttando le condizioni che definiscono T e la sua linearità.

    T(\mathbf{e}_1) è già nota, infatti sappiamo che

    T(1,0,0)=(1,-1,-1,-1)

    Per calcolare T(\mathbf{e}_2) scriviamo il vettore \mathbf{e}_2=(0,1,0) come combinazione lineare dei vettori preimmagine di T.

    Richiediamo che sia

    \mathbf{e}_2=a \mathbf{v}_1 + b \mathbf{v}_2 + c \mathbf{v}_3

    e determiniamo i coefficienti a,b,c. Sostituiamo i quattro vettori

    (0,1,0)=a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(1,0,0)

    Svolgiamo i calcoli a secondo membro

    (0,1,0)=(a+b+c, \ a, \ a+b)

    e imponiamo l'uguaglianza componente per componente così da ottenere il sistema

    \begin{cases}a+b+c=0 \\ a=1 \\ a+b=0\end{cases}

    La sua soluzione è

    (a,b,c)=(1,-1,0)

    pertanto

    \mathbf{e}_2=a \mathbf{v}_1 + b \mathbf{v}_2 + c \mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2

    Dalla linearità dell'applicazione T segue che

    T(\mathbf{e}_2) = T(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2) = \\ \\ = T(\mathbf{v}_1) - T(\mathbf{v}_2) = (1,3,2,2)-(2,13,4,4) = \\ \\ = (-1,-10,-2,-2)

    Procedendo allo stesso modo, o con un buon occhio clinico, si ottiene che

    \mathbf{e}_3=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3

    di conseguenza

    T(\mathbf{e}_3) = T(\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_3) = \\ \\ = T(\mathbf{v}_2) - T(\mathbf{v}_3) = (2,13,4,4) - (1,-1,-1,-1)= \\ \\ = (1, 14, 5, 5)

    Ci siamo! La matrice cercata è

    A_T=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -1 & -10 & 14 \\ -1 & -2 & 5 \\ -1 & -2 & 5\end{pmatrix}

    e l'esercizio può dirsi concluso.

    Risposta di Galois
 
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