Esercizio su esistenza, unicità e matrice associata a una trasformazione lineare

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In fase di preparazione all'esame di Algebra Lineare e Geometria mi sono imbattuto in un esercizio che non sto proprio riuscendo a risolvere. Assegnata una trasformazione lineare si deve verificare che esiste ed è unica e si deve calcolare la matrice associata rispetto alle basi canoniche.

 

Si consideri la trasformazione lineare T:R^3 → R^4 tale da soddisfare le seguenti condizioni

 

T(1,1,1) = (1,3,2,2) ; T(1,0,1) = (2,13,4,4) ; T(1,0,0) = (1,-1,-1,-1)

 

Si dimostri che T esiste ed è unica e si determini la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio.

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Disponiamo di una trasformazione lineare T:R^3 → R^4 tale da soddisfare le seguenti condizioni

    T(1,1,1) = (1,3,2,2) ; T(1,0,1) = (2,13,4,4) ; T(1,0,0) = (1,-1,-1,-1)

    Dopo aver verificato che esiste ed è unica, dobbiamo calcolare la matrice rappresentativa di T rispetto alle basi canoniche.

    Per quanto concerne lo studio dell'esistenza e dell'unicità di T basta osservare che i vettori preimmagine, ossia

    v_1 = (1,1,1) ; v_2 = (1,0,1) ; v_3 = (1,0,0)

    formano una base di R^3, tant'è vero che sono tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione tre.

    Alla luce di ciò, per il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare, T esiste ed è unica.

    Procediamo, ora, al calcolo della matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di R^3 e di R^4.

    Matrice associata a T rispetto alle basi canoniche

    In generale, la matrice associata a un'applicazione lineare F:R^n → R^m rispetto alle basi mathcalB di R^n e mathcalB' di R^m è quella matrice che ha per colonne le coordinate rispetto alla base mathcalB' delle immagini secondo F dei vettori di mathcalB.

    In particolare, se mathcalB' è la base canonica di R^m, allora la matrice rappresentativa di F ha per colonne le immagini secondo F dei vettori di mathcalB.

    Ciò premesso, indichiamo con

    mathcalC = e_1, e_2, e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

    la base canonica di R^3.

    La matrice che rappresenta T:R^3 → R^4 in riferimento alle basi canoniche di dominio e codominio ha per colonne i vettori

    T(e_1) ; T(e_2) ; T(e_3)

    Calcoliamoli sfruttando le condizioni che definiscono T e la sua linearità.

    T(e_1) è già nota, infatti sappiamo che

    T(1,0,0) = (1,-1,-1,-1)

    Per calcolare T(e_2) scriviamo il vettore e_2 = (0,1,0) come combinazione lineare dei vettori preimmagine di T.

    Richiediamo che sia

    e_2 = a v_1+b v_2+c v_3

    e determiniamo i coefficienti a,b,c. Sostituiamo i quattro vettori

    (0,1,0) = a(1,1,1)+b(1,0,1)+c(1,0,0)

    Svolgiamo i calcoli a secondo membro

    (0,1,0) = (a+b+c, a, a+b)

    e imponiamo l'uguaglianza componente per componente così da ottenere il sistema

    a+b+c = 0 ; a = 1 ; a+b = 0

    La sua soluzione è

    (a,b,c) = (1,-1,0)

    pertanto

    e_2 = a v_1+b v_2+c v_3 = v_1-v_2

    Dalla linearità dell'applicazione T segue che

    T(e_2) = T(v_1-v_2) = T(v_1)-T(v_2) = (1,3,2,2)-(2,13,4,4) = (-1,-10,-2,-2)

    Procedendo allo stesso modo, o con un buon occhio clinico, si ottiene che

    e_3 = v_2-v_3

    di conseguenza

    T(e_3) = T(v_2-v_3) = T(v_2)-T(v_3) = (2,13,4,4)-(1,-1,-1,-1) = (1, 14, 5, 5)

    Ci siamo! La matrice cercata è

    A_T = [1 -1 1 ;-1 -10 14 ;-1 -2 5 ;-1 -2 5]

    e l'esercizio può dirsi concluso.

    Risposta di Galois
 
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