Soluzioni
  • Ciao Volpi, arrivo a risponderti!

    Risposta di Alpha
  • Dici bene, trovare la matrice associata rispetto alla base canonica vuol dire trovare una matrice le cui colonne siano le immagini rispetto a T dei vettori della base canonica.

    Per farlo si può procedere in diversi modi, in questo caso, ricordando che l'applicazione è lineare, è rapido fare in questo modo:

     

    T(e_1)=T\left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\\-1\\-1\end{matrix}\right)

     

    Questo risultato lo fornisce gratuitamente l'esercizio. Procediamo con e2:

     

    T(e_2)=T\left[\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right)\right]=T\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)-T\left(\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right)=

    \left(\begin{matrix}1\\3\\2\\2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}2\\13\\4\\4\end{matrix}\right)

     

    Per il vettore e3 si procede analogamente, ma è un po' più complesso, cerchiamo una combinazione lineare dei tre vettori forniti dal problema tale da dare come risultato proprio il vettore e3:

     

    \alpha\cdot \left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)+\beta\cdot \left(\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right)+\gamma\cdot \left(\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)

     

    Da qui deduciamo che

     

    \alpha=0

     

    \beta=1

     

    \gamma=-1

     

    Da qui, sfruttando la linearità e l'omogeneità dell'applicazione T deduciamo il valore di T(0,0,1).

     

    Fino a qui ti torna?

     

    Risposta di Alpha
  • sisi fin quì lo so fare ormai a memoria xD ma nn capisco l'altra richiesta:

    Matrice associata alla base canonica del codominio

    Risposta di Volpi
  • Scusa, credo che il problema sia di definizione. Per trovare la matrice associata ad un'applicazione è necessario fissare una base nel dominio e nel codominio dell'applicazione, altrimenti non è possibile trovare la matrice tale che

     

    \vet{y}=M\vet{x}

     

    l'esercizio è finito dove sei arrivato tu!

     

    Per convincerti pensa alla definizione di matrice associata:

     

    La matrice associata ad un'applicazione lineare è quella matrice che rappresenta la trasformazione lineare rispetto ad una base per ciascuno dei due spazi.

    Risposta di Alpha
  • Ah ok, allora è finito così.

    Bon. Grazie mille !!!

    Risposta di Volpi
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