Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to 0}(1+x^3)^{\tfrac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6(x)}}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata [1^{+\infty}] che possiamo risolvere procedendo in modo abbastanza canonico, sfruttando la relazione che lega il logaritmo con l'esponenziale

    f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\log(f(x))} \ \ \ \mbox{ con }f(x)>0

    Grazie a tale formula possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}e^{\tfrac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6(x)}\cdot \log(1+x^3)}=

    Sfruttiamo la continuità della funzione esponenziale per poter far passare il limite all'esponente

    =e^{\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6(x)}\cdot\log(1+x^3)}

    Per il momento lasciamo da parte la base e dedichiamo le nostre attenzioni al limite all'esponente

    \lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6(x)}\cdot\log(1+x^3)=(\bullet)

    I passaggi svolti finora hanno avuto il compito di passare dalla forma di indecisione [1^{+\infty}] alla più comoda \left[\frac{0}{0}\right].

    In questo caso la forma di indecisione può essere risolta applicando a dovere i limiti notevoli, in particolare

    - il limite notevole del logaritmo

    \lim_{f(x)\to 0}\frac{\log(1+f(x))}{f(x)}=1

    valido quando l'argomento del logaritmo tende a 1;

    - il limite notevole del seno

    \lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1

    applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo.

    Affinché si possano usare i limiti notevoli sorge la necessità di aggiungere dei termini, in particolare:

    - il termine \log\left(1+\frac{x^4}{3}\right) ha bisogno di essere diviso per \frac{x^4}{3};

    - il termine \log(1+x^3) ha bisogno di essere diviso per x^3;

    - il termine \sin(x) ha bisogno di essere diviso per x, ma visto che il seno ha esponente 6 lo divideremo per x^6.

    Per far sì che i termini vengano divisi senza modificare l'essenza della funzione, dobbiamo moltiplicare per la stessa quantità. Grazie alle osservazioni fatte, scriveremo il limite (\bullet) nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\cdot\frac{x^4}{3}\cdot\frac{x^6}{\sin^6(x)}\cdot\frac{1}{x^{6}}\cdot\frac{\log(1+x^3)}{x^3}\cdot x^3=

    Il primo, il terzo e il quinto fattore hanno limite pari ad 1 pertanto ci riduciamo a calcolare

    =\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{3}\cdot\frac{1}{x^6}\cdot x^3=\lim_{x\to 0}\frac{x^7}{3 x^6}= \lim_{x\to 0}\frac{x}{3}=0

    In definitiva l'esponente tende a 0 e ciò ci permette di concludere che

    e^{\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6(x)}\cdot\log(1+x^3)}=e^{0}=1

    Ora il limite è completamente svolto.

     

    Metodo alternativo con Taylor

    Possiamo risolvere il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)\log(1+x^3)}{\sin^6(x)}=(\bullet)

    utilizzando a dovere gli sviluppi notevoli di Taylor-Mc Laurin, mediante i quali possiamo associare ad ogni fattore presente nel limite il relativo sviluppo. L'ordine di sviluppo è suggerito dalla potenza sesta presente al denominatore

    \\ \log\left(1+\frac{x^3}{3}\right)=\frac{x^4}{3}+o(x^6) \\ \\ \\ \log(1+x^3)=x^3+o(x^6) \\ \\ \\ \sin^6(x)=x^6+o(x^6)

    dove il simbolo o() indica l'o-piccolo.

    Tali sviluppi ci permettono di scrivere il limite nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\frac{x^4}{3}+o(x^6)\right)(x^3+o(x^6))}{x^6+o(x^6)}=

    Eseguiamo il prodotto al numeratore applicando a dovere le regole dell'algebra degli o-piccolo

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^7}{3}+x^3\cdot o(x^6)+\frac{1}{3}x^4 o(x^6)+[o(x^6)]^2}{x^6+o(x^6)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^7}{3}+o(x^9)}{x^6+o(x^6)}=

    Raccogliamo x^7 al numeratore e x^6 al denominatore

    =\lim_{x\to 0}\frac{x^7\left(\frac{1}{3}+\frac{o(x^9)}{x^7}\right)}{x^6\left(1+\frac{o(x^6)}{x^6}\right)}=

    e concordemente alla definizione di o-piccolo

    \\ \frac{o(x^9)}{x^7}\to 0 \ \ \ \mbox{ per }x\to 0 \\ \\ \\ \frac{o(x^6)}{x^6}\to 0 \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

    pertanto il limite si scrive in forma equivalente come

    \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{3}x^7}{x^6}= \lim_{x\to 0}\frac{1}{3}x=0

    Osserviamo che quello ottenuto è lo stesso risultato a cui siamo giunti usando i limiti notevoli. Se sei interessato puoi leggere la lezione su come risolvere i limiti con Taylor.

    Risposta di Ifrit
 
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