Limite di una funzione esponenziale con rapporto

Question

Devo risolvere un limite di una funzione esponenziale con base variabile. In teoria dovrei utilizzare i limiti notevoli oppure gli sviluppi di Taylor, ma non so come procedere. lim_(x → 0)(1+x^3)^((log(1+(x^4)/(3)))/(sin^6(x)))

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il limite lim_(x → 0)(1+x^3)^((log(1+(x^4)/(3)))/(sin^6(x))) = (•) si presenta nella forma indeterminata [1^(+∞)] che possiamo risolvere procedendo in modo abbastanza canonico, sfruttando la relazione che lega il logaritmo con l'esponenziale f(x)^(g(x)) = e^(g(x)log(f(x))) con f(x) > 0 Grazie a tale formula possiamo esprimere il limite nella forma equivalente (•) = lim_(x → 0)e^((log(1+(x^4)/(3)))/(sin^6(x))·log(1+x^3)) = Sfruttiamo la continuità della funzione esponenziale per poter far passare il limite all'esponente = e^(lim_(x → 0)(log(1+(x^4)/(3)))/(sin^6(x))·log(1+x^3)) Per il momento lasciamo da parte la base e dedichiamo le nostre attenzioni al limite all'esponente lim_(x → 0)(log(1+(x^4)/(3)))/(sin^6(x))·log(1+x^3) = (•) I passaggi svolti finora hanno avuto il compito di passare dalla forma di indecisione [1^(+∞)] alla più comoda [(0)/(0)]. In questo caso la forma di indecisione può essere risolta applicando a dovere i limiti notevoli, in particolare-il limite notevole del logaritmo lim_(f(x) → 0)(log(1+f(x)))/(f(x)) = 1 valido quando l'argomento del logaritmo tende a 1;-il limite notevole del seno lim_(f(x) → 0)(sin(f(x)))/(f(x)) = 1 applicabile nel momento in cui l'argomento del seno è infinitesimo. Affinché si possano usare i limiti notevoli sorge la necessità di aggiungere dei termini, in particolare:-il termine log(1+(x^4)/(3)) ha bisogno di essere diviso per (x^4)/(3);-il termine log(1+x^3) ha bisogno di essere diviso per x^3;-il termine sin(x) ha bisogno di essere diviso per x, ma visto che il seno ha esponente 6 lo divideremo per x^6. Per far sì che i termini vengano divisi senza modificare l'essenza della funzione, dobbiamo moltiplicare per la stessa quantità. Grazie alle osservazioni fatte, scriveremo il limite (•) nella forma equivalente (•) = lim_(x → 0)(log(1+(x^4)/(3)))/((x^4)/(3))·(x^4)/(3)·(x^6)/(sin^6(x))·(1)/(x^(6))·(log(1+x^3))/(x^3)·x^3 = Il primo, il terzo e il quinto fattore hanno limite pari ad 1 pertanto ci riduciamo a calcolare = lim_(x → 0)(x^4)/(3)·(1)/(x^6)·x^3 = lim_(x → 0)(x^7)/(3 x^6) = lim_(x → 0)(x)/(3) = 0 In definitiva l'esponente tende a 0 e ciò ci permette di concludere che e^(lim_(x → 0)(log(1+(x^4)/(3)))/(sin^6(x))·log(1+x^3)) = e^(0) = 1 Ora il limite è completamente svolto. Metodo alternativo con Taylor Possiamo risolvere il limite lim_(x → 0)(log(1+(x^4)/(3))log(1+x^3))/(sin^6(x)) = (•) utilizzando a dovere gli sviluppi notevoli di Taylor-Mc Laurin, mediante i quali possiamo associare ad ogni fattore presente nel limite il relativo sviluppo. L'ordine di sviluppo è suggerito dalla potenza sesta presente al denominatore ; log(1+(x^3)/(3)) = (x^4)/(3)+o(x^6) ; log(1+x^3) = x^3+o(x^6) ; sin^6(x) = x^6+o(x^6) dove il simbolo o() indica l'o-piccolo. Tali sviluppi ci permettono di scrivere il limite nella forma equivalente (•) = lim_(x → 0)(((x^4)/(3)+o(x^6))(x^3+o(x^6)))/(x^6+o(x^6)) = Eseguiamo il prodotto al numeratore applicando a dovere le regole dell'algebra degli o-piccolo ; = lim_(x → 0)((x^7)/(3)+x^3·o(x^6)+(1)/(3)x^4 o(x^6)+[o(x^6)]^2)/(x^6+o(x^6)) = lim_(x → 0)((x^7)/(3)+o(x^9))/(x^6+o(x^6)) = Raccogliamo x^7 al numeratore e x^6 al denominatore = lim_(x → 0)(x^7((1)/(3)+(o(x^9))/(x^7)))/(x^6(1+(o(x^6))/(x^6))) = e concordemente alla definizione di o-piccolo ; (o(x^9))/(x^7) → 0 per x → 0 ; (o(x^6))/(x^6) → 0 per x → 0 pertanto il limite si scrive in forma equivalente come lim_(x → 0)((1)/(3)x^7)/(x^6) = lim_(x → 0)(1)/(3)x = 0 Osserviamo che quello ottenuto è lo stesso risultato a cui siamo giunti usando i limiti notevoli. Se sei interessato puoi leggere la lezione su come risolvere i limiti con Taylor.