Soluzioni
  • Ciao Yasmab, grazie per i complimenti! :)

    Prima di tutto diamo la definizione di quadrilatero inscivibile, che trovi insieme a tante altre cose utili nel formulario sul quadrilatero.

    Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se la somma di due angoli opposto è uguale a quella degli altri due.

     

    Proviamo a fare un disegno giusto per capire:

     

    Quadrilatero inscrivibile in una circonferenza

     

    Il punto sta nel dimostrare, quindi, che la somma di due angoli opposto del quadrilatero ABCD è proprio uguale alla somma degli altri due.

    Le tangenti alla circonferenza condotte da punti esterni hanno particolari proprietà, a questo punto dovremmo cercare tra queste per poter dedurre qualcosa...fino a qui ti torna tutto?

    Risposta di Alpha
  • è questo il punto )=, non riesco a capire quale proprietà utilizzare, ci ho passato ore, ma non ci riesco.

    Per cortesia, se lei potrebbe dare la spiegazione. Grazie.

     

    Risposta di yasmab
  • Credo, dammi pure del tu, che sia sufficiente sfruttare il fatto che le tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza sono tali da avere i segmenti dal punto esterno al punto di tangenza uguali. In particolare un poligono convesso, e il nostro quadrilatero lo è, è circoscrivibile quando le somme dei lati opposti coincidono. Ora guardando la figura e pensando a questa proprietà mi sembra abbastanza accettabile. C'è solo una domanda a questo punto: perché le corde devono essere perpendicolari tra loro? Dovrebbe bastare un disegno per capirlo. Prova a ragionare seguendo questa traccia, poco rigorosa forse, e fammi sapere se riesci a venirne a capo.

    Risposta di Alpha
  • Ma scusa, con questo che cosa possiamo dedurre ?

    Risposta di yasmab
  • Possiamo dedurre che la somma di lati opposti è congruente, il problema è che il disegno è abbastanza complicato, ma chiama P1,...,P4 i vertici del quadrilatero, sono tali che

    P_1A=P_1D,\ P_2A=P_2C,\ P_3B=P_3B,\ P_4B=P_4D\ \ \ \bullet

    Questo perché sono tangenti condotte da punti esterni alla cironferenza.

    Ora sommiamo i lati opposti del quadrilatero formato da P_1,...,P_4: un primo lato è dato da P_1D+DP_4 e sono allineati proprio perché le corde sono perpendicolari.

    Il lato opposto è dato da P_3C+CP_2.

    Ora gli altri due lati sono dati da P_2A+AP_1 e P_3B+BP_4.

    Confrontiamoli, dobbiamo avere

    P_1D+DP_4+P_3C+CP_2=P_2A+AP_1+P_3B+BP_4

    Utilizzando le uguaglianze \bullet ottieni proprio la tua tesi, cioè somme di lati opposti del quadrilaetro sono congruenti.

    Risposta di Alpha
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