relazione d'ordine,equivalenza,minoranti maggioranti

Ciao Giulia, arrivo a risponderti, ma questo esercizio è parecchio lungo, desideri che lo svolga tutto o hai dei dubbi precisi?

Va bene, allora abbi un poco di pazienza, arrivo!

io avevo pensato minimo Ø e massimo {1,2,3,4,5}  ma non sono sicura

nn capisco perchè {1,3} è l estremo inf

Lo è per definizione, infatti ti ricordo che l'estremo inferiore deve avere due proprietà: deve essere un minorante, e tra i minoranti deve essere il più grande. Ora i minoranti della coppia sono tutti quegli elementi delle parti di S tali che la loro unione con T è contenuta nell'unione con T del più piccolo dei due insiemi della coppia. Il più grande tra questi insiemi è proprio {1,3}. Infatti un altro dei minoranti è, ad esempio l'insieme {1}. Questo per la relazione d'ordine che stiamo considerando è più piccolo di {1,3}, infatti {1}UT C {1,3}UT. 

Vado avanti ancora un poco, poi mi dici se ti è chiaro. (P(S),β) non è u reticolo, infatti ci sono insiemi non confrontabili, ad esempio {1,3} e {1,2,3}, questi insiemi non sono in relazione. Dunque non possiamo stabilire un ordine sulla coppia.

Per una parte totalmente ordinata abbiamo bisogno di trovare le coppie di elementi in relaizone per cui vale la relazione di totalità: cioè 

per ogni x,y in K deve valere: xβy o yβx.

Quando mi dai conferma fino a qui proviamo ad andare avanti. 

Si...io l'ho chiamata β perché lo richiedeva l'esercizio...puoi anche chiamarla ω se ti piace di più :)

A questo punto dobbiamo trovare quella parte totalmente ordinata...per farlo cerchiamo quelle coppie per cui, come dicevo prima, vale la proprietà di totalità, che scritta brutalmente significa trovare quegli elementi in P(S) tali che si verifica che il primo è in relazione con il secondo o viceversa.

Io considererei gli elementi del tipo Ø, {x}, {x,y} e {x,y,z} dove x,y e z appartengono all'insieme {1,3,5}. (Dunque l'ultimo insieme è proprio S). Capisci che queste sono in qualche modo delle classi di equivalenza modulo cardinalità, infatti, per esempio il secondo insieme può essere {1},{3} oppure {5} e ogni insieme è in relazione con quello successivo, ma non vale il viceversa, cioè {1} è in relazione con {1,y}, con y in {3,5}, ma di certo {1,y} non è in relazione con {1}, infatti risulta che 

e

ma sicuramente non vale il vicecersa.

In sostanza per ottenere la totalità dobbiamo scartare quegli insiemi per cui vale X=Y e quelli per cui vale XUT=YUT. Ora questo è sicuramente un reticolo perché ogni coppia di questo tipo è confrontabile, cioè si verifica sempre che se X e Y appartegono a K, l'unione di uno dei due con T è contenuta nell'unione dell'altro con T, e ti ricordo che dire che per ogni coppia è possibile trovare un sup e un inf, significa dire che la coppia è confrontabile. Quindi otteniamo un reticolo.

Un reticolo è distributivo se vale la seguente:

Ora se X, Y e Z stanno in K abbiamo che vale tale proprietà. Il reticolo non è complementato.

L'esercizio è lunghissimo e abbastanza impegnativo, posso passare alla parte sulla relazione di equivlaenza?

=( vi siete dimenticati di me?

Dato che la relazione R è definita da

e dato che la relazione è definita da

Ne consegue che

dunque la relazione si riduce ad un'uguaglianza ed è evidentemente di equivalenza.

Per trovare le classi di equivalenza cercate

cioè l'insieme delle parti di , mentre

Ti torna?

Namasté!

Ti stavo aspettando al varco 

Il fatto è che devi ragionare sull'unione con l'insieme , che è dato da

Per trovare la classe di equivalenza dell'insieme vuoto, devi cercare quegli insiemi che, uniti a , continuano a dare . Gli unici consentiti sono quindi i sottoinsiemi di stesso.

Per la classe di equivalenza di , intanto ne prendi l'unione con :

e dovrai prendere tutti gli insiemi che, uniti a , danno .

Ragionando così non dovrebbero esserci problemi, ad ogni modo sono qui per qualsiasi dubbio non esitare a chiedere.

Namasté!