Soluzioni
  • Ciao Giulia, arrivo a risponderti, ma questo esercizio è parecchio lungo, desideri che lo svolga tutto o hai dei dubbi precisi?

    Risposta di Alpha
  • purtroppo tutto =( 

    Risposta di Giulialg88
  • Va bene, allora abbi un poco di pazienza, arrivo!

    Risposta di Alpha
  • Allora, la relazione Σ non è d'ordine, infatti non vale la proprietà antisimmetrica: se la relazione fosse d'odine dovrebbe valere la seguente

     

    X\Sigma Y \wedge Y\Sigma X\implies X=Y

     

    Consideriamo i due insiemi

     

    X=\{1,2,3\}\in\mathca{P}(S)

     

    e

     

    Y=\{1,3\}\in\mathca{P}(S)

     

    abbiamo che

     

    X\Sigma Y

     

    infatti

     

    X\cup T=\{1,2,3,4\}

     

    e

     

    Y\cup T=\{1,2,3,4\}

     

    quindi

     

    X\cup T\subseteq Y\cup T

     

    ma vale anche

     

    Y\Sigma X

     

    perché

     

    Y\cup T\subseteq X\cup T

     

    quindi gli insiemi X e Y dovrebbero essere uguali, ma non lo sono. Quindi la relazione non è d'equivalenza.

     


    A questo punto lo studio di massimi, minimi, elementi massimali e minimali con la relazione β=ω è molto simile a esercizi che abbiamo fatto in passato, vuoi provare a farlo, poi mi racconti se ci sono problemi, altrimenti continuo io...

    Risposta di Alpha
  • io avevo pensato minimo Ø e massimo {1,2,3,4,5}  ma non sono sicura

    Risposta di Giulialg88
  • Ok...Gli elementi minimali sono quelli tali da non mutare dopo aver unito T, quindi quelli come il vuoto, {2}, {4}, {2,4}. Gli elementi massimali sono quelli tali da includere tutti gli altri sottoinsiemi dopo che è stato unito T: {1,3,5}, {1,2,3,5},{1,3,4,5},{1,2,3,4,5}.

    Y={{1,2,3},{3,4,5}}, proviamo a unire questi due insiemi con T, otteniamo: {1,2,3,4} e {1,2,3,4,5}. Chiaramente il primo è incluso nel secondo, quindi questa coppia di elementi è confrontabile. L'estremo inferiore è il più grande dei minoranti. I minoranti sono tutti quegli insiemi che uniti con T sono inclusi nel più piccolo insieme della coppia, dunque in questo caso l'estremo inferiore è {1,3}.

     

    Ti ricordo che (P(S),β) è un reticolo soltanto se per ogni coppia di suoi elementi riusciamo a determinare un sup e un inf.

     

    A questo punto cosa mi dici? Ti torna?

    Risposta di Alpha
  • nn capisco perchè {1,3} è l estremo inf

    Risposta di Giulialg88
  • Fuori orario, Giulialg88...Frown Risolviamo domani! Wink

    Risposta di Omega
  • Lo è per definizione, infatti ti ricordo che l'estremo inferiore deve avere due proprietà: deve essere un minorante, e tra i minoranti deve essere il più grande. Ora i minoranti della coppia sono tutti quegli elementi delle parti di S tali che la loro unione con T è contenuta nell'unione con T del più piccolo dei due insiemi della coppia. Il più grande tra questi insiemi è proprio {1,3}. Infatti un altro dei minoranti è, ad esempio l'insieme {1}. Questo per la relazione d'ordine che stiamo considerando è più piccolo di {1,3}, infatti {1}UT C {1,3}UT. 

    Vado avanti ancora un poco, poi mi dici se ti è chiaro. (P(S),β) non è u reticolo, infatti ci sono insiemi non confrontabili, ad esempio {1,3} e {1,2,3}, questi insiemi non sono in relazione. Dunque non possiamo stabilire un ordine sulla coppia.

    Per una parte totalmente ordinata abbiamo bisogno di trovare le coppie di elementi in relaizone per cui vale la relazione di totalità: cioè 

    per ogni x,y in K deve valere: xβy o yβx.

    Quando mi dai conferma fino a qui proviamo ad andare avanti. 

    Risposta di Alpha
  • XωY (X=Y) V (XUT C  YUT) questa è la relazione beta cmq fino a qui è chiaro

    Risposta di Giulialg88
  • Si...io l'ho chiamata β perché lo richiedeva l'esercizio...puoi anche chiamarla ω se ti piace di più :)

     

    A questo punto dobbiamo trovare quella parte totalmente ordinata...per farlo cerchiamo quelle coppie per cui, come dicevo prima, vale la proprietà di totalità, che scritta brutalmente significa trovare quegli elementi in P(S) tali che si verifica che il primo è in relazione con il secondo o viceversa.

     

    Io considererei gli elementi del tipo Ø, {x}, {x,y} e {x,y,z} dove x,y e z appartengono all'insieme {1,3,5}. (Dunque l'ultimo insieme è proprio S). Capisci che queste sono in qualche modo delle classi di equivalenza modulo cardinalità, infatti, per esempio il secondo insieme può essere {1},{3} oppure {5} e ogni insieme è in relazione con quello successivo, ma non vale il viceversa, cioè {1} è in relazione con {1,y}, con y in {3,5}, ma di certo {1,y} non è in relazione con {1}, infatti risulta che 

     

    {1,2,4}\subset {1,3,2,4}

     

    e

     

    {1,2,4}\subset {1,5,2,4}

     

    ma sicuramente non vale il vicecersa.

     

    In sostanza per ottenere la totalità dobbiamo scartare quegli insiemi per cui vale X=Y e quelli per cui vale XUT=YUT. Ora questo è sicuramente un reticolo perché ogni coppia di questo tipo è confrontabile, cioè si verifica sempre che se X e Y appartegono a K, l'unione di uno dei due con T è contenuta nell'unione dell'altro con T, e ti ricordo che dire che per ogni coppia è possibile trovare un sup e un inf, significa dire che la coppia è confrontabile. Quindi otteniamo un reticolo.

     

    Un reticolo è distributivo se vale la seguente:

     

    \sup(x,\inf(y,z))=\sup(\inf(x,y),\inf(x,z))

     

    Ora se X, Y e Z stanno in K abbiamo che vale tale proprietà. Il reticolo non è complementato.

     

    L'esercizio è lunghissimo e abbastanza impegnativo, posso passare alla parte sulla relazione di equivlaenza?

     

     

     

    Risposta di Alpha
  • si

    Risposta di Giulialg88
  • =( vi siete dimenticati di me?

    Risposta di Giulialg88
  • Eccoci Giulia, niente paura. :) Arrivo a risolvere la seconda parte dell'esercizio 

    Risposta di Omega
  • Dato che la relazione R è definita da

    XRY\mbox{ se e solo se }X\Sigma Y\mbox{ e }Y\Sigma X

    e dato che la relazione \Sigma è definita da

    X\Sigma Y\mbox{ se e solo se }X\cup T\subseteq Y\subseteq T

    Ne consegue che

    XRY\mbox{ se e solo se }X\cup T= Y\cup T

    dunque la relazione si riduce ad un'uguaglianza ed è evidentemente di equivalenza.

    Per trovare le classi di equivalenza cercate

    [\emptyset]_R=P(T)\subseteqP(S)

    cioè l'insieme delle parti di S, mentre

    [\{1,2\}]_R=\{\{1\},\{1,2\},\{1,4\}\}

    Ti torna?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non ho capito le classi d'equivalenza

    Risposta di Giulialg88
  • Ti stavo aspettando al varco Laughing

    Il fatto è che devi ragionare sull'unione con l'insieme T, che è dato da

    T=\{2,4\}

    Per trovare la classe di equivalenza dell'insieme vuoto, devi cercare quegli insiemi che, uniti a T, continuano a dare T. Gli unici consentiti sono quindi i sottoinsiemi di T stesso.

    Per la classe di equivalenza di \{1,2\}, intanto ne prendi l'unione con T:

    \{1,2\}\cup T=\{1,2,4\}

    e dovrai prendere tutti gli insiemi che, uniti a T, danno \{1,2,4\}.

    Ragionando così non dovrebbero esserci problemi, ad ogni modo sono qui per qualsiasi dubbio non esitare a chiedere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • tutto chiaro,grazie =D

    Risposta di Giulialg88
 
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