Un modo per calcolare il limite
consiste nell'utilizzare l'identità fondamentale derivante dalla definizione di logaritmo
mediante la quale il limite diventa
Tralasciamo per il momento la base e concentriamo la nostra attenzione sul comportamento dell'esponente al tendere di
. In altre parole studiamo il limite
che si presenta nella forma di indecisione
. Possiamo affrontare tale forma indeterminata sfruttando in qualche modo i limiti notevoli, ed in particolare:
- il limite notevole del coseno
- il limite notevole della tangente
Per ricondurci al limite notevole del coseno moltiplichiamo e dividiamo per
all'interno dell'argomento del logaritmo
mentre per usufruire del limite notevole della tangente moltiplichiamo e dividiamo per
l'intera funzione
Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi mediante le quali possiamo esprimere il logaritmo di un prodotto come la somma dei logaritmi dei singoli fattori a patto che quest'ultimi siano positivi
Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione così da passare al limite
A questo punto esprimiamo il limite come somma di limiti che affronteremo uno alla volta
Analizziamo il primo
che grazie al limite notevole della tangente diventa
e inoltre invocando la proprietà sul logaritmo di una potenza possiamo scriverlo nella forma equivalente
Il valore assoluto può essere cancellato giacché la variabile
e dalla definizione di modulo segue che
nell'intorno destro di 0.
Consideriamo ora il limite
Esso è nullo perché il primo fattore tende a 0, il secondo tende a 1 per via del limite notevole della tangente e l'ultimo tende a
in accordo con il limite notevole del coseno
Con le informazioni in nostro possesso possiamo asserire che l'esponente tende a 0
e dunque il limite di partenza è 1 infatti
Il limite è calcolato!
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