Limite di una forma di indecisione 0^0

Devo calcolare un limite di una funzione esponenziale con base variabile. Il limite genera una forma di indecisione zero alla zero e non so come si possa risolvere.

$\lim_{x\to0^{+}}(1-\cos(x))^{\tan(x)}$

Potreste aiutarmi? Grazie.

In Uni - Analisi - Domanda di lolloviola

Soluzioni

Un modo per calcolare il limite

$\lim_{x\to0^{+}}(1-\cos(x))^{\tan(x)}=(\bullet)$

consiste nell'utilizzare l'identità fondamentale derivante dalla definizione di logaritmo

$h(x)^{k(x)}=e^{k(x)\log(h(x))} \ \ \ \mbox{per} \ h(x)>0$

mediante la quale il limite diventa

$(\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}e^{\tan(x)\log(1-\cos(x))}$

Tralasciamo per il momento la base e concentriamo la nostra attenzione sul comportamento dell'esponente al tendere di $x\to 0^{+}$ . In altre parole studiamo il limite

$\lim_{x\to0^{+}}\tan(x)\log(1-\cos(x))=(\bullet\bullet)$

che si presenta nella forma di indecisione $[0\cdot(-\infty)]$ . Possiamo affrontare tale forma indeterminata sfruttando in qualche modo i limiti notevoli, ed in particolare:

- il limite notevole del coseno

$\lim_{h(x)\to0}\frac{1-\cos(h(x))}{[h(x)]^2}=\frac{1}{2}$

- il limite notevole della tangente

$\lim_{h(x)\to0}\frac{\tan(h(x))}{h(x)}=1$

Per ricondurci al limite notevole del coseno moltiplichiamo e dividiamo per all'interno dell'argomento del logaritmo

$(\bullet\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}\tan(x)\cdot\log\left(x^2\cdot\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=$

mentre per usufruire del limite notevole della tangente moltiplichiamo e dividiamo per l'intera funzione

$=\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(x^2\cdot\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=$

Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi mediante le quali possiamo esprimere il logaritmo di un prodotto come la somma dei logaritmi dei singoli fattori a patto che quest'ultimi siano positivi

$=\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\left[\log(x^2)+\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)\right]=$

Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione così da passare al limite

$=\lim_{x\to0^{+}}\left[x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)+x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)\right]=$

A questo punto esprimiamo il limite come somma di limiti che affronteremo uno alla volta

$=\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)+\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)$

Analizziamo il primo

$\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)=$

che grazie al limite notevole della tangente diventa

$=\lim_{x\to0^{+}}x\log(x^2)=$

e inoltre invocando la proprietà sul logaritmo di una potenza possiamo scriverlo nella forma equivalente

$=\lim_{x\to0^{+}}2x\log(|x|)=$

Il valore assoluto può essere cancellato giacché la variabile $x\to0^{+}$ e dalla definizione di modulo segue che nell'intorno destro di 0.

$=\lim_{x\to0^{+}}2x\log(x)=0$

Consideriamo ora il limite

$\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=$

Esso è nullo perché il primo fattore tende a 0, il secondo tende a 1 per via del limite notevole della tangente e l'ultimo tende a $\log\left(\frac{1}{2}\right)$ in accordo con il limite notevole del coseno

$=0\cdot 1 \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)=0$

Con le informazioni in nostro possesso possiamo asserire che l'esponente tende a 0

$\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)+\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=0+0=0$

e dunque il limite di partenza è 1 infatti

$\lim_{x\to0^{+}}e^{\tan(x)\log(1-\cos(x))}=e^{0}=1$

Il limite è calcolato!

Risposta di Ifrit