Soluzioni
  • Un modo per calcolare il limite

    \lim_{x\to0^{+}}(1-\cos(x))^{\tan(x)}=(\bullet)

    consiste nell'utilizzare l'identità fondamentale derivante dalla definizione di logaritmo

    h(x)^{k(x)}=e^{k(x)\log(h(x))} \ \ \ \mbox{per} \ h(x)>0

    mediante la quale il limite diventa

    (\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}e^{\tan(x)\log(1-\cos(x))}

    Tralasciamo per il momento la base e concentriamo la nostra attenzione sul comportamento dell'esponente al tendere di x\to 0^{+}. In altre parole studiamo il limite

    \lim_{x\to0^{+}}\tan(x)\log(1-\cos(x))=(\bullet\bullet)

    che si presenta nella forma di indecisione [0\cdot(-\infty)]. Possiamo affrontare tale forma indeterminata sfruttando in qualche modo i limiti notevoli, ed in particolare:

    - il limite notevole del coseno

    \lim_{h(x)\to0}\frac{1-\cos(h(x))}{[h(x)]^2}=\frac{1}{2}

    - il limite notevole della tangente

    \lim_{h(x)\to0}\frac{\tan(h(x))}{h(x)}=1

    Per ricondurci al limite notevole del coseno moltiplichiamo e dividiamo per x^2 all'interno dell'argomento del logaritmo

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}\tan(x)\cdot\log\left(x^2\cdot\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=

    mentre per usufruire del limite notevole della tangente moltiplichiamo e dividiamo per x l'intera funzione

    =\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(x^2\cdot\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=

    Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi mediante le quali possiamo esprimere il logaritmo di un prodotto come la somma dei logaritmi dei singoli fattori a patto che quest'ultimi siano positivi

    =\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\left[\log(x^2)+\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)\right]=

    Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione così da passare al limite

    =\lim_{x\to0^{+}}\left[x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)+x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)\right]=

    A questo punto esprimiamo il limite come somma di limiti che affronteremo uno alla volta

    =\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)+\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)

    Analizziamo il primo

    \lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)=

    che grazie al limite notevole della tangente diventa

    =\lim_{x\to0^{+}}x\log(x^2)=

    e inoltre invocando la proprietà sul logaritmo di una potenza possiamo scriverlo nella forma equivalente

    =\lim_{x\to0^{+}}2x\log(|x|)=

    Il valore assoluto può essere cancellato giacché la variabile x\to0^{+} e dalla definizione di modulo segue che |x|=x nell'intorno destro di 0.

    =\lim_{x\to0^{+}}2x\log(x)=0

    Consideriamo ora il limite 

    \lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=

    Esso è nullo perché il primo fattore tende a 0, il secondo tende a 1 per via del limite notevole della tangente e l'ultimo tende a \log\left(\frac{1}{2}\right) in accordo con il limite notevole del coseno

    =0\cdot 1 \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)=0

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo asserire che l'esponente tende a 0

    \lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log(x^2)+\lim_{x\to0^{+}}x\cdot\frac{\tan(x)}{x}\cdot\log\left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=0+0=0

    e dunque il limite di partenza è 1 infatti

    \lim_{x\to0^{+}}e^{\tan(x)\log(1-\cos(x))}=e^{0}=1

    Il limite è calcolato!

    Risposta di Ifrit
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