Soluzioni
  • Ciao Volpi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere l'esercizio, dobbiamo tenere conte della formula di Grassmann

    dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V\cap W)

    Si tratta quindi di capire se l'intersezione dei due sottospazi è vuota oppure no, e in questo caso di determinarne una base. In questo modo potremo facilemente trovare una base dello spazio somma V+W.

    Intanto osserviamo che il sottospazio W ha dimensione 2, perché ha una base costituita da due elementi.

    Provando a sostituire, separatamente, i vettori della base dello spazio W nelle equazioni che definiscono V si vede che non le verificano, dunque non appartengono a tale sottospazio.

    Per linearità, se ne deduce che i due sottospazi hann intersezione vuota, quindi

    dim(V\cap W)=0

    e quindi i due sottospazi sono in somma diretta. Di conseguenza, la somma dei sottospazi ha dimensione 4 e quindi possiamo prendere come base di V+W l'unione di due basi di V e W.

    Una base di W ce l'abbiamo, non ti resta che determinare una base di V a partire dalle equazioni. Se hai problemi, fammi sapere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Potrebbe verificare se il risultato che ho ottenuto è corretto???

     

    Una base di U mi viene,   (1/7,-8/7,1,0) (-1/7,1/7,0,1)

     

    Di conseguenza una base di U+W è

    (1/7,-8/7,1,0) (-1/7,1/7,0,1)(9,1,0,0)(1,2,9,-3)    è corretto?

    Risposta di Volpi
  • I due vettori che hai scelto soddisfano le equazioni che definiscono il sottospazio e sono linearmente indipendenti, per vederlo basta scriverli come righe di una matrice e si vede subito che ha rango massimo. La somma dei sottspazi è diretta dunque una base della loro somma è semplicemente l'unione delle basi dei sottospazi. Lo svolgimento è assolutamente corretto! :)

    Risposta di Alpha
  • Grazie mille !!!! Una curiosità: c'è un limite massimo di problemi che si possono pubblicare al giorno?

    Risposta di Volpi
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