Soluzioni
  • Ciao Lolloviola, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere il limite

    \lim_{x\to 0^+}{\frac{x^x-1}{e^{\sin{(x)}}-1}}

    dobbiamo usare a denominatore il limite notevole dell'esponenziale.

    Osserviamo infatti che per x\to 0^+ risulta che

    \sin{(x)}\to 0^+

    e quindi

    e^{(\sin{(x)})}-1\sim \sin{(x)}

    ed ora applichiamo il limite notevole del seno

    \sin{(x)}\sim x

    Passiamo ad analizzare il numeratore, che riscriviamo nella forma

    x^x-1=e^{\log{\left(x^x\right)}}-1=e^{x\log{(x)}}-1

    osserviamo che, per x\to 0^{+} risulta che

    x\log{(x)}\rightarrow 0 (*****)

    quindi possiamo applicare anche qui il limite notevole dell'esponenziale

    e^{x\log{(x)}}-1\sim x\log{(x)}

    quindi in definitiva troviamo

    \lim_{x\to 0^+}{\frac{x^x-1}{e^{\sin{(x)}}-1}}=\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x\log{(x)}}{x}}=-\infty


    Per dimostrare (*****) osserva che

    x\log{(x)}=\frac{\log{(x)}}{\frac{1}{x}}

    e che, per x\to 0^+ risulta che \frac{1}{x} è un infinito di ordine superiore a \log{(x)}


    Namasté!

    Risposta di Omega
  • io ho fatto totalmente diverso, applicando de l'hopital e m torna 2 ??????

    Risposta di lolloviola
  • Potresti aver sbagliato nel calcolo delle derivate. De l'Hopital è un metodo che si può applicare in questo caso.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • x^x lo scrivo come e^(xlnx)

     

    cosi ottengo che = [e^(xlnx)-1]/[e^(senx)-1] 

     

    applicando de l'hopital ottengo    [(1+lnx) e^(xlnx)]/[cosx e^(senx)]

     

    e sostituendo il valore di 0

     

    ottengo    [(1+1) e^0]/[1 e^0]   = 2/1 = 2

     

    noon è giusto?

    Risposta di lolloviola
  • L'errore è nella valutazione: il logaritmo a 0+ vale -∞, non 0!

    Risposta di Alpha
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