Soluzioni
  • Per ipotesi A,B,C sono tre matrici rettangolari m\times n che costituiscono un sistema di vettori linearmente dipendenti, inoltre sappiamo che B\ \mbox{e} \ C sono linearmente indipendenti.

    In accordo con la definizione di lineare dipendenza, esistono tre scalari a,b,c\in\mathbb{R} non contemporaneamente nulli che soddisfano l'uguaglianza

    aA+bB+cC=O

    dove O è la matrice nulla di m righe e di n colonne.

    Certamente a\ne 0, perché se fosse nullo, allora l'uguaglianza matriciale diverrebbe

    bB+cC=0

    con almeno uno tra b\ \mbox{e} \ c diverso da zero e ciò implicherebbe la lineare dipendenza tra B\ \mbox{e}\ C, violando così una delle ipotesi.

    Per a\ne0 possiamo isolare A al primo membro dell'uguaglianza

    aA+bB+cC=O

    ottenendo

    A=-\frac{b}{a}B-\frac{c}{a}C

    Ne consegue che A è combinazione lineare delle matrici B\ \mbox{e} \ C, con coefficienti -\frac{b}{a} e -\frac{c}{a}.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare