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  • Ciao DoctorWho, ragioniamo per dipendenza/indipendenza lineare per righe, tanto è lo stesso.

    Poichè A,B,C sono linearmente indipendenti, fissiamo la nostra attenzione sulla riga i-esima. Esisteranno tre scalari ri ,si ,ti tali che

    (***) riAi + siBi+tiCi=0 con ri ,si ,ti non tutti contemporaneamente nulli.

    Prendiamo in considerazione le matrici A e B, e mostriamo che C si esprime come combinazione lineare di A e B. Negli altri casi il ragionamento sarà del tutto analogo.

    Poichè A e B sono linearmente indipendenti, fissata una riga i-esima abbiamo che

    αAi+βBi=0 se e solo se α=0=β

    Dall'espressione (***) possiamo riscrivere

    tiCi= -(riAi + siBi)

    Se proviamo che ti è diverso da zero abbiamo la tesi, perchè possiamo dividere per ti ed esprimere la riga i-esima di C come combinazione lineare delle righe i-esime di A e di B.

    Ragioniamo per assurdo. Se fosse ti=0, allora da (***) avremmo che

    riAi + siBi=0

    ma questo è assurdo, perchè avremmo che A e B sono linearmente dipendenti, contro l'ipotesi che siano linearmente indipendenti.

    Risposta di Omega
  • Omega, scusa la mia ignoranza, ma 


     Ciao Omega, scusa la mia ignoranza, essenso A, B e C linearmente dipendenti 

    vuol dire che rA+tB+sC= 0 giusto? 

    se a due a due sono indipendenti vorrà dire, sempre se non sbaglio, che rA+tB diverso da zero o no?

    e quindi per esser diverso da zero vuol dire che o r o t sono diversi da zero, prendendo come esempio la r diverso da zero avrò che A= (tB + sC)/r e quindi la A sarà combinazione lineare delle altre due.. 

     

    ho detto una grande cavolata oppure il ragionamento è giusto? 

    Non sono praticissimo di questo argomento.. l'ho fatto da poco e sto cercando di capirlo, grazie dell'aiuto!

    Risposta di DoctorWho
  • " Ciao Omega, scusa la mia ignoranza, essenso A, B e C linearmente dipendenti 

    vuol dire che rA+tB+sC= 0 giusto?"

    No, vuol dire che esistono dei coefficienti r,s,t non simultaneamente nulli tali che rA+tB+sC=0.

    "se a due a due sono indipendenti vorrà dire, sempre se non sbaglio, che rA+tB diverso da zero o no?"

    No, se sono indipendenti allora la condizione rA+tB=0 si verifica se e solo se r=0=t

    Occhio alle definizioni. La dipendenza lineare e l'indipendenza lineare non ti dicono che una combinazione lineare è nulla oppure no a priori.

    Ti dicono quali sono le condizioni sui coefficienti per annullare la combinazione lineare.

    Tu parti sempre da una combinazione lineare posta uguale a zero: se i suoi elementi sono indipendenti allora l'unico modo è che i coefficienti siano tutti nulli, se gli elementi sono dipendenti allora esistono degli opportuni coefficienti non tutti nulli che rendono la combinazione nulla.

     

    Per ogni dubbio, chiedi pure!

    Risposta di Omega
  • Quindi A, B e C linearmente dipendenti vuol dire che esistono coefficienti non nulli, meglio ancora basti che uno non sia nullo giusto?

     

    Ma se sono indipendenti tutti i coefficienti devono essere uguale a zero e quindi nessuna può essere combinazione lineare dell'altra perché nel momento in cui io divido per il coefficiente= zero la combinazione lineare risulterebbe inesistente.

    es. rA+tB+sC se tutti e tre i coefficienti sono nulli non potrei mai fare A= (tB+sC)/r perché r=0 giusto?

     

    ho capito bene?

    Scusa se ti faccio perdere tempo ma la mia prof di università e incomprensibile e da solo è dura apprendere!

    Risposta di DoctorWho
  • "Quindi A, B e C linearmente dipendenti vuol dire che esistono coefficienti non nulli, meglio ancora basti che uno non sia nullo giusto?"

    Vuol dire che se hai rA+sB+tC=0 (senza nulla sapere dei coefficienti) puoi trovare tre specifici coefficienti che non sono tutti nulli ma che verificano l'uguaglianza.

    "Ma se sono indipendenti tutti i coefficienti devono essere uguale a zero"

    Se tu hai in partenza che la combinazione lineare è nulla, allora i coefficienti devono essere nulli nell'ipotesi di indipendenza lineare.

    "es. rA+tB+sC se tutti e tre i coefficienti sono nulli non potrei mai fare A= (tB+sC)/r perché r=0 giusto?"

    Se rA+sB+tC = 0 e A,B,C sono indipendenti allora risulta r=s=t=0.

    Se invece prendi rA+sB+tC con coefficienti generici e non imponi che la combinazione sia nulla, allora i coefficienti r,s,t non sono nulli. Li prendi generici!

     

    Finita questa puntualizzazione, occhio che A,B,C nel teorema sono linearmente dipendenti, quindi esistono dei coefficienti r,s,t non tutti nulli che annullano la combinazione lineare!

     

    Macchè perdere tempo! Siamo qui apposta per dare una mano!

    Non preoccuparti, non uscirai di qui finchè il problema non sarà risolto...Laughing

    Risposta di Omega
  • A, B, C sono linearmente dipendenti quindi esistono dei coefficienti r,s,t non tutti nulli che annullano la combinazione ok.

    Sono a due a due indipendenti quindi si suppone che rA+sB abbiano r=0=s perché l'indipendenza comporta coefficienti nulli giusto?

    devo dimostrare che prendiamo in consideriamo C sia uguale a C= (rA+sB)/tC e che quindi t sia diverso da zero. 

    Ma visto che sono a due a due indipendenti t non può essere diverso da zero perché prendendo in considerazione rA+tC indipendenti t deve essere = 0 giusto?

     

    è giusto il ragionamento che ho fatto? Comunque grazie mille!

    Risposta di DoctorWho
  • "A, B, C sono linearmente dipendenti quindi esistono dei coefficienti r,s,t non tutti nulli che annullano la combinazione ok."

    OK!

    "Sono a due a due indipendenti quindi si suppone che rA+sB abbiano r=0=s perché l'indipendenza comporta coefficienti nulli giusto?!

    La frase corretta è:

    Sono a due a due indipendenti quindi se si suppone che rA+sB """"=0""""  allora abbiamo r=0=s. Giusto, se la combinazione lineare è posta uguale a zero.

    "Ma visto che sono a due a due indipendenti t non può essere diverso da zero perché prendendo in considerazione rA+tC indipendenti t deve essere = 0 giusto?"

    se rA+tC è uguale a zero allora r=t=0.

    rA+tC indipendenti t deve essere = 0 giusto? Falso!

     

     

    t deve essere diverso da zero, e dobbiamo dimostrarlo, altrimenti non vale la tesi!

     

    Risposta di Omega
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