esercizio spazi vettoriali

siano W=[( a+2   b  ):a,b€R] e T=[(  a   b  ).a,b€R]sottoinsiemi di R2,2

                 0      b                         2b  b                                                           

                                                                                                                      

1)verificare se essi sono sottospazi giustificando la risposta

2)in caso affermativo determinarne una base e una dimensione

3)verificare se il vettore (  3  4  ) appartine a T e in caso affermativo determinare le componenti nella base trovata per T         (  8  4  )

Domanda di ste90ban
Soluzioni

(0  b) e (2b  b) e (8  4) sono le seconde righe delle matrici solo che non sapevo scriverle allineate!

Risposta di ste90ban

Ciao Ste90ban, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

I sottospazi sono dunque definiti da

W = [a+2 b ; 0 b] t. c. a,b∈R

T = [a b ; 2b b] t. c. a,b∈R

Si vede facilmente che W non è un sottospazio di Mat(2,R) delle matrici 2x2 a elementi reali, infatti non è chiuso rispetto alla somma di matrici. In altre parole, sommando due matrici X,Y∈ W risulta che X+Y ∉ W.

D'altra parte è facile verificare che T è un sottospazio di Mat(2,R) in quanto soddisfa la definizione di sottospazio: è lineare ed è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare (cioè per un coefficiente reale).

Determiniamo quindi la dimensione di T: non è difficile vedere che

dim(T) = 2

in quanto possiamo esprimere ogni elemento di T come combinazione lineare di due matrici, linearmente indipendenti tra di loro, e che dunque costituiscono una base di T.

T = a[1 0 ; 0 0]+b[0 1 ; 2 1]

Sulla terza parte dell'esercizio, credo che tu ti riferisca alla matrice

[3 4 ; 8 4]

che appartiene certamente a T, basta prendere come coefficienti (3,4).

Namasté!

Risposta di Omega

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