Misura di una corda con distanza dal centro

A proposito dei problemi sul cerchio, come si trova la misura di una corda conoscendo la sua distanza dal centro?

Una circonferenza misura 130π dm e una sua corda dista dal centro 39 dm. Calcola la misura della corda.

Domanda di Enzo9494
Soluzione

Una corda appartiene a una circonferenza lunga 130π dm e dista 39 dm dal suo centro. Dobbiamo calcolare la misura della corda.

Disegniamo una circonferenza di centro O, tracciamo una sua qualsiasi corda AB e uniamo O con i due estremi della corda.

La distanza della corda dal centro della circonferenza corrisponde alla lunghezza del segmento OH che parte dal punto O e cade perpendicolarmente su AB

Problema su cerchio e corda con teorema di Pitagora

Indichiamo con 2p la lunghezza della circonferenza. Per risolvere il problema dobbiamo calcolare la lunghezza della corda AB sapendo che:

 2p = 130π dm ; OH = 39 dm

Procediamo: osserviamo che i segmenti OA, OB sono congruenti, perché entrambi raggi di una stessa circonferenza. Di conseguenza OAB è un triangolo isoscele di base AB e OH è la sua altezza.

Ricordiamo poi che l'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti che hanno come ipotenusa il lato obliquo e come cateti l'altezza relativa alla base e metà della base stessa.

Noi conosciamo l'altezza

OH = 39 dm

e possiamo trovare il lato obliquo OA dalla lunghezza della circonferenza: OA è il raggio e la lunghezza di una circonferenza è data dal prodotto tra il doppio del raggio e la costante Pi Greco

2p = 2×π×OA

Di conseguenza

OA = (2p)/(2×π) = (130π dm)/(2×π) = 65 dm

Queste informazioni ci consentono di calcolare metà della base del triangolo con il teorema di Pitagora, secondo cui un cateto è uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato dell'ipotenusa e il quadrato dell'altro cateto

 AH = BH = √(OA^2−OH^2) = √((65 dm)^2−(39 dm)^2) = √(4225 dm^2−1521 dm^2) = √(2704 dm^2) = 52 dm

In definitiva

AH = BH = 52 dm

e quindi

AB = AH+BH = ; 52 dm+52 dm = 104 dm

Abbiamo concluso: la corda misura 104 decimetri.

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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