Soluzioni
  • Siano V,W due spazi vettoriali e f:V \to W un'applicazione lineare definita mediante immagini di vettori.

    Per il teorema di esistenza e unicità, se i vettori preimmagine formano una base di V, allora f esiste ed è unica. In caso contrario non possiamo dire nulla a priori.

    Svolgiamo ora l'esercizio, in cui viene chiesto di verificare che l'applicazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definita da

    \\ f(1,0,1)=(0,0,0) \\ \\ f(1,1,1)=(0,1,0) \\ \\ f(0,0,1)=(1,2,1)

    esiste ed è unica.

    I vettori preimmagine sono

    \mathbf{v}_1=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(0,0,1)

    Stabiliamo se costituiscono una base di \mathbb{R}^3: in caso affermativo potremmo concludere che f esiste ed è unica.

    La dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}^3 è pari a 3, per cui tre vettori ne formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro.

    Per studiare la lineare indipendenza dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 potremmo rifarci alla definizione o, molto più velocemente, disporli per righe in una matrice A e calcolarne il rango.

    A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Se il rango di A è tre, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 sono indipendenti, e quindi formano una base di \mathbb{R}^3.

    A è una matrice quadrata di ordine tre, pertanto ha rango 3 se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Calcoliamolo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga

    \mbox{det}(A) = 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = 1 \cdot (1-0) = 1

    In definitiva, l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} formato dai vettori preimmagine è una base di \mathbb{R}^3 per cui l'applicazione lineare f esiste ed è unica.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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