Soluzioni
  • Ciao Ste90ban, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per vedere se l'applicazione lineare esiste, facciamo riferimento al teorema della nullità più rango:

    dim(\mathbb{R}^3)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

    Nel nostro caso il nucleo ha dimensione 2, in quanto disponiamo di una base formata da 2 elementi.

    L'immagine ha dimensione 1? Se sì, l'applicazione lineare esiste, in caso contrario no.

    Si tratta dunque di capire se le immagini dei vettori della bas canonica e_1,e_2,e_3 possono essere espressi mediante l'immagine del vettore (1,2,1), cioè mediante

    f((1,2,1))

    Sapendo in particolare che

    0=f((1,1,1))=f((1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1))

    per linearità deduciamo che

    0=f((1,0,0))+f((0,1,0))+f((0,0,1))=f((1,0,0))+f((0,1,0))+(1,2,1)

    da cui

    f((1,0,0))+f((0,1,0))=-(1,2,1)

    D'altra parte

    0=f((1,0,1))=f((1,0,0)+(0,0,1))

    per linearità

    0=f((1,0,0))+f((0,0,1))=f((1,0,0))+(1,2,1)

    da cui

    f((1,0,0))=-(1,2,1)

    e quindi deduciamo che

    f((0,1,0))=(0,0,0)

    e quindi l'immagine ha dimensione 1. L'applicazione lineare esiste!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Non ho capito l'ultimo passaggio, cioè perché deduciamo che f((0,1,0))=(0,0,0).

    Risposta di ste90ban
  • Devi confrontare

    f((1,0,0))+f((0,1,0))=-(1,2,1)

    e

    f((1,0,0))=-(1,2,1)

    Ti torna?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ora si!

     

    Risposta di ste90ban
 
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