Soluzioni
  • Ciao Murizio1986, arrivo a risponderti, e nel frattempo ti invito a leggere (prima o dopo) la guida sullo studio di funzioni. Ti risponderò punto per punto.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok

    Risposta di murizio1986
  • La funzione è

    f(x)=\frac{x^4}{-x^3+2}

    per calcolare il dominio, dobbiamo richiedere solamente che il denominatore non si annulli, quindi

    x^3-2\neq 0

    da cui troviamo

    x\neq \sqrt[3]{2}

    e quindi il dominio è

    (-\infty,\sqrt[3]{2})\cup(\sqrt[3]{2},+\infty)

    Risposta di Omega
  • Tutto chiaro...

    Risposta di murizio1986
  • Segno della funzione: dobbiamo risolvere la disequazione

    f(x)\geq 0

    studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore. Troviamo che la funzione è positiva per x minore di \sqrt[3]{2}, negativa altrove.

    Se ne deduce anche che l'unica intersezione con l'asse delle ascisse si ha in x=0.

    Risposta di Omega
  • Perfetto :)

    Risposta di murizio1986
  • Limiti agli estremi del dominio: la funzione ha limiti

    \lim_{x\to-\infty}{f(x)}=+\infty

    \lim_{x\to+\infty}{f(x)}=-\infty

    è sufficiente ricorrere al confronto tra infiniti, mentre ha un asintoto verticale in x=\sqrt[3]{2}, poiché in tale punto presenta una discontinuità di seconda specie. Infatti

    \lim_{x\to(\sqrt[3]{2})^-}{f(x)}=+\infty

    e

    \lim_{x\to(\sqrt[3]{2})^+}{f(x)}=-\infty

    Ne deduciamo inoltre che la funzione non ha asintoti orizzontali.

    Per quanto riguarda l'eventuale presenza di asintoti obliqui, calcoliamo i seguenti limiti

    m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=-1

    q=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]=0

    e nell'intorno di +\infty abbiamo come asintoto obliquo y=-x.

    Un calcolo del tutto analogo porta a concludere che y=-x è asintoto obliquo anche nell'intorno di -\infty.

     

    Risposta di Omega
  • quindi asintoto orizzontale tra le opzione cè:

    y= 1;

    y=1/2

    y=0

    y= n.d.p.

    devo rispondere n.d.p. perchè y=0 è cmq un asintoto orizzontale giusto?

     

    Risposta di murizio1986
  • Devi rispondere n.d.p. perché NON c'è alcun asintoto orizzontale.

    Procediamo?

    Risposta di Omega
  • si è tutto chiaro..

    Risposta di murizio1986
  • Ok, derivata prima e derivata seconda le abbiamo calcolate qui.

    Dobbiamo solo studiare il segno della derivata prima per conoscere la monotonia e per trovare massimi e minimi: risolviamo la disequazione

    f'(x)\geq 0

    cioè

    -\frac{x^3(x^3-8)}{(x^3-2)^2}\geq 0

    (le due funzioni delle due domande sembrano diverse ma in realtà il meno che nell'altra domanda stava davanti alla frazione è stato portato a denominatore)

    Studiando il segno del numeratore e basta, poiché il denominatore è sempre positivo sul dominio della funzione, si vede che la derivata prima è negativa sull'insieme (-\infty,0)\cup(2,+\infty), e quindi la funzione presenta in x=0 un punto di minimo e in x=2 un punto di massimo.

    Lo studio della derivata seconda per la concavità lo lascio a te. ;)

    Risposta di Omega
  • Va benone :) ... e per il grafico come facciamo?

    Risposta di murizio1986
  • Attenzione, concentrazione: usa il tool per il grafico online.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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