Dimostrare che la radice quadrata di un numero primo non è razionale

Per dimostrare il teorema di irrazionalità della radice di un numero primo procediamo con una dimostrazione per assurdo, ossia consideriamo valide le ipotesi e supponiamo che la tesi non sia vera, con l'obiettivo di arrivare a una contraddizione.

Scriviamo l'enunciato del teorema e distinguiamo ipotesi e tesi.

Dimostrare che non è un numero razionale per ogni numero primo .

• L'ipotesi è che è un qualsiasi numero primo;

• la tesi che non è un numero razionale.

Consideriamo un qualsiasi numero primo e neghiamo la tesi, ossia supponiamo che sia un numero razionale: ciò significa che esistono due numeri naturali non nulli e primi tra loro (coprimi) tali che si possa scrivere come loro rapporto.

Più esplicitamente esistono , con , tali che

A questo punto eleviamo al quadrato entrambi i membri della precedente uguaglianza

Moltiplichiamo per sia a destra che a sinistra dell'uguale, e otteniamo

Da ciò segue che è un multiplo di , ossia che divide , ma ciò non è possibile perché se due numeri sono primi tra loro, sono tali anche i loro quadrati.

Siamo così giunti a una contraddizione, che conferma la validità della tesi e conclude la dimostrazione.

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Potremmo fermarci qui ma vale la pena di spendere qualche parola in più sull'ultima parte della dimostrazione, che potrebbe essere non così scontata per chi tratta da poco questi argomenti.

A un certo punto abbiamo detto che se due numeri sono primi tra loro, sono tali anche i loro quadrati. Solitamente è un risultato che si dà per noto, ma per completezza ci teniamo a dimostrarlo. ;)

Siano allora due numeri primi tra loro e dimostriamo che anche sono coprimi.

Per il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero naturale maggiore di 1 ammette a meno dell'ordine un'unica scomposizione in fattori primi. Nel nostro caso esistono dunque dei numeri primi tali che

Dal momento che sono primi tra loro, le loro scomposizioni sono formate da primi distinti, ossia per ogni e per ogni .

Eleviamo al quadrato le precedenti uguaglianze

Poiché , anche per ogni e per ogni , e ciò dimostra che sono primi tra loro.

Con questo è tutto!