Soluzioni
  • Consideriamo le funzioni con valore assoluto

    f(x)=|2x-3| \ \ \ ; \ \ \ g(x)=|x-1|

    Il nostro intento consiste nell'esplicitare la funzione composta \gamma(x)=(f \circ g)(x) e nel risolvere la disequazione \gamma(x) < 2.

    (f \circ g)(x) si ricava sostituendo g(x) a ogni occorrenza di x all'interno della funzione esterna f(x). In termini operativi, scriviamo

    \\ \gamma(x)=(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \\ \\ = |2g(x)-3|=|2|x-1|-3|

    Una volta determinata l'espressione della funzione composta, possiamo rispondere alla seconda richiesta dell'esercizio e risolvere la disequazione \gamma(x)<2.

    Si tratta quindi di risolvere la disequazione con valore assoluto

    |2|x-1|-3|<2

    che è equivalente alla doppia disequazione

    -2<2|x-1|-3<2

    Isoliamo il valore assoluto nel membro centrale, sommiamo i tre termini per 3 e dividiamo in seguito per 2

    1<2|x-1|<5 \ \to \ \frac{1}{2}<|x-1|<\frac{5}{2}

    La disequazione ottenuta è equivalente al sistema di disequazioni

    \begin{cases}|x-1|>\dfrac{1}{2} \\ \\ |x-1|<\dfrac{5}{2}\end{cases}

    Risolviamo separatamente le due disequazioni partendo dalla prima

    |x-1|>\dfrac{1}{2} \ \to \ x-1<-\frac{1}{2} \ \vee \ x-1 > \frac{1}{2}

    da cui

    x<\frac{1}{2} \ \vee \ x>\frac{3}{2}

    Per quanto riguarda la seconda disequazione scriviamo, invece

    |x-1|<\frac{5}{2} \ \to \ -\frac{5}{2}<x-1<\frac{5}{2}

    da cui ricaviamo

    -\frac{3}{2}<x<\frac{7}{2}

    Intersecando i due insiemi soluzione scopriamo che la soluzione del sistema, e dunque la soluzione della disequazione \gamma(x)<2, è

    -\frac{3}{2}<x<\frac{1}{2} \ \vee \ \frac{3}{2}<x<\frac{7}{2}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Galois
 
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