Espressione trigonometrica con arcocoseno e seno

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Dovrei calcolare il valore di un'espressione trigonometrica con seno e arcocoseno, e più nel dettaglio mi viene chiesto di calcolare il valore del seno della differenza tra pigreco sesti e l'arcocoseno di -1/3. Purtroppo non so neanche da dove partire...

 

Calcolare il valore di

 

sin((π)/(6)- arccos(-(1)/(3)))

Domanda di ely

 
Soluzioni

  • Trascriviamo la traccia dell'espressione goniometrica di cui dobbiamo calcolare il valore

    sin((π)/(6)- arccos(-(1)/(3)))

    e osserviamo che l'argomento del seno è una differenza tra due angoli

    α = (π)/(6) ; β = arccos(-(1)/(3)))

    Applichiamo allora la formula di sottrazione del seno

    sin((π)/(6)- arccos(-(1)/(3))) = sin((π)/(6))·cos(arccos(-(1)/(3))))-cos((π)/(6))·sin(arccos(-(1)/(3)))) = (☆)

    Ricordiamo ora che:

    • il seno di Pi Greco sesti è uguale a 1/2

    sin((π)/(6)) = (1)/(2)

    • il coseno di Pi Greco sesti è uguale a √3/2

    cos((π)/(6)) = (√(3))/(2)

    e che valgono le seguenti identità dell'arcocoseno:

    cos(arccos(x)) = x per -1 ≤ x ≤ 1 ; sin(arccos(x)) = √(1-x^2) per -1 ≤ x ≤ 1

    Nel nostro caso x = -(1)/(3), per cui

    • cos(arccos(-(1)/(3)))) = -(1)/(3)

    • sin(arccos(-(1)/(3)))) = √(1-(-(1)/(3))^2) = √((8)/(9)) = (2√(2))/(3)

    Torniamo all'espressione goniometrica, riprendendola dal punto in cui ci siamo fermati, e facciamo le giuste sostituzioni

    (☆) = (1)/(2)·(-(1)/(3))-(√(3))/(2))·(2√(2))/(3) =

    svolgiamo le operazioni tra frazioni

    = -(1)/(6)-(2√(6))/(6) = -(1+2√(6))/(6)

    In definitiva

    sin((π)/(6)- arccos(-(1)/(3))) = -(1+2√(6))/(6)

    e con questo è tutto!

    Risposta di Galois
 
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