Soluzioni
  • Trascriviamo la traccia dell'espressione goniometrica di cui dobbiamo calcolare il valore

    \sin\left(\frac{\pi}{6}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)

    e osserviamo che l'argomento del seno è una differenza tra due angoli

    \alpha=\frac{\pi}{6} \ \ \ ; \ \ \beta=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)

    Applichiamo allora la formula di sottrazione del seno

    \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \\ \\ \\ =\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\right)= (\bigstar)

    Ricordiamo ora che:

    • il seno di Pi Greco sesti è uguale a 1/2

    \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}

    • il coseno di Pi Greco sesti è uguale a √3/2

    \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

    e che valgono le seguenti identità dell'arcocoseno:

    \\ \cos(\arccos(x))=x \ \ \mbox{ per } -1 \le x \le 1 \\ \\ \sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2} \ \ \mbox{ per } -1 \le x \le 1

    Nel nostro caso x=-\frac{1}{3}, per cui

    \bullet \ \cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\right)=-\frac{1}{3}

    \bullet \ \sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\right) = \sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}

    Torniamo all'espressione goniometrica, riprendendola dal punto in cui ci siamo fermati, e facciamo le giuste sostituzioni

    (\bigstar) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=

    svolgiamo le operazioni tra frazioni

    =-\frac{1}{6}-\frac{2\sqrt{6}}{6}=-\frac{1+2\sqrt{6}}{6}

    In definitiva

    \sin\left(\frac{\pi}{6}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)=-\frac{1+2\sqrt{6}}{6}

    e con questo è tutto!

    Risposta di Galois
 
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