Base ortogonale rispetto a un prodotto scalare

Question

Un esercizio di Algebra Lineare assegna un insieme di vettori e un'applicazione e chiede di: verificare che l'insieme è una base, verificare che l'applicazione è un prodotto scalare, stabilire se la base è ortogonale. Per i primi due punti non ho grossi problemi, ma per verificare che la base è ortogonale cosa dovrei fare?

Si considerino i seguenti vettori di :

1) Verificare che è una base di .

2) Verificare che l'applicazione definita da

è un prodotto scalare su .

3) Stabilire se è una base ortogonale rispetto al prodotto scalare .

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Consideriamo i seguenti vettori di R^3: v_1 = (1,0,0) ; v_2 = (0,1,0) ; v_3 = (0,(1)/(2),1) e l'applicazione φ: R^3×R^3 → R tale che φ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3 Dobbiamo:-dimostrare che mathcalB = v_1, v_2, v_3 è una base di R^3;-verificare che φ è un prodotto scalare su R^3;-stabilire se mathcalB è una base ortogonale rispetto a φ. Verifica base La dimensione dello spazio vettoriale R^3 è pari a 3, per cui tre suoi vettori ne formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro. Per stabilire se i vettori v_1, v_2, v_3 sono indipendenti è sufficiente disporli per righe in una matrice e calcolarne il determinante: se è diverso da zero sono indipendenti e quindi formano una base di R^3. det[1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 (1)/(2) 1] = applicando Laplace, rispetto alla prima riga = 1·det[1 0 ; (1)/(2) 1] = 1·1 = 1 dunque mathcalB = v_1, v_2, v_3 è una base di R^3. Verifica prodotto scalare L'applicazione φ: R^3×R^3 → R definita da φ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3 è un prodotto scalare su R^3 se e solo se, per definizione, è simmetrica ed è lineare rispetto alla prima (o rispetto alla seconda) componente, ossia se per ogni (x_1,x_2,x_3), (x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2,y_3) ∈ R^3 e per ogni a,b ∈ R vengono soddisfatte le seguenti proprietà: ; φ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = φ((y_1,y_2,y_3),(x_1,x_2,x_3)) ; φ(a(x_1,x_2,x_3)+b(x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2,y_3)) = aφ ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))+bφ((x_1',x_2',x_3'),(y_1,y_2,y_3)) Siano, allora (x_1,x_2,x_3), (x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2,y_3) ∈ R^3 e a,b ∈ R. Per com'è definita φ abbiamo che φ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3 = per la proprietà commutativa del prodotto e della somma tra numeri reali ; = y_1x_1+2y_2x_2-y_2x_3-y_3x_2+2y_3x_3 = φ((y_1,y_2,y_3),(x_1,x_2,x_3)) dunque φ è simmetrica. Vediamo se è lineare rispetto alla prima componente φ(a(x_1,x_2,x_3)+b(x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2,y_3)) = svolgiamo le operazioni tra vettori = φ((ax_1+bx_1', ax_2+bx_2', ax_3+bx_3'), (y_1,y_2,y_3)) = calcoliamo l'immagine mediante φ ; = (ax_1+bx_1')y_1+2(ax_2+bx_2')y_2-(ax_2+bx_2')y_3+;-(ax_3+bx_3')y_2+2(ax_3+bx_3')y_3 = svolgiamo i prodotti ; = ax_1y_1+bx_1'y_1+2ax_2y_2+2bx_2'y_2-ax_2y_3-bx_2'y_3+;-ax_3y_2-bx_3'y_2+2ax_3y_3+2bx_3'y_3 = raccogliamo rispetto ad a e rispetto a b ; = a(x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3)+;+b(x_1'y_1+2x_2'y_2-x_2'y_3-x_3'y_2+2x_3'y_3) = per com'è definita φ = a φ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))+b φ ((x_1',x_2',x_3'),(y_1,y_2,y_3)) Abbiamo così dimostrato che φ è lineare rispetto alla prima componente, pertanto è un prodotto scalare su R^3. Verifica base ortogonale Per definizione, mathcalB = v_1, v_2, v_3 è una base ortogonale di R^3 rispetto a φ se è una base di R^3 e se i vettori v_1, v_2, v_3 sono ortogonali a due a due, ossia se φ(v_1, v_2) = φ(v_1, v_3) = φ(v_2, v_3) = 0 Abbiamo già dimostrato che mathcalB è una base di R^3, dunque rimane da stabilire se v_1, v_2, v_3 sono ortogonali a due a due rispetto a φ. φ(v_1, v_2) = φ((1,0,0), (0,1,0)) = applichiamo φ = 1·0+2·0·1-0·0-0·1+2·0·0 = 0 Analogamente: φ(v_1, v_3) = φ((1,0,0), (0,(1)/(2),1)) = applichiamo φ = 1·0+2·0·(1)/(2)-0·1-0·(1)/(2)+2·0·1 = 0 Infine: ; φ(v_2, v_3) = φ((0,1,0), (0,(1)/(2),1)) = 0·0+2·1·(1)/(2)-1·1-0·(1)/(2)+2·0·1 = 1-1 = 0 In definitiva, mathcalB è una base ortogonale rispetto a φ e l'esercizio è concluso.

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