Soluzioni
  • Consideriamo i seguenti vettori di \mathbb{R}^3:

    \mathbf{v}_1=(1,0,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=\left(0,\frac{1}{2},1\right)

    e l'applicazione \varphi: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} tale che

    \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3

    Dobbiamo:

    - dimostrare che \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è una base di \mathbb{R}^3;

    - verificare che \varphi è un prodotto scalare su \mathbb{R}^3;

    - stabilire se \mathcal{B} è una base ortogonale rispetto a \varphi.

    Verifica base

    La dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}^3 è pari a 3, per cui tre suoi vettori ne formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro.

    Per stabilire se i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 sono indipendenti è sufficiente disporli per righe in una matrice e calcolarne il determinante: se è diverso da zero sono indipendenti e quindi formano una base di \mathbb{R}^3.

    \mbox{det}\begin{pmatrix}1&&0&&0 \\ \\ 0&&1&&0 \\ \\ 0&&\dfrac{1}{2}&&1\end{pmatrix}=

    applicando Laplace, rispetto alla prima riga

    = 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&&0 \\ \\ \dfrac{1}{2} && 1\end{pmatrix} = 1 \cdot 1 = 1

    dunque \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è una base di \mathbb{R}^3.

    Verifica prodotto scalare

    L'applicazione \varphi: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} definita da

    \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3

    è un prodotto scalare su \mathbb{R}^3 se e solo se, per definizione, è simmetrica ed è lineare rispetto alla prima (o rispetto alla seconda) componente, ossia se per ogni

    (x_1,x_2,x_3), (x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}^3

    e per ogni a,b \in \mathbb{R} vengono soddisfatte le seguenti proprietà:

    \\ \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=\varphi((y_1,y_2,y_3),(x_1,x_2,x_3)) \\ \\ \varphi(a(x_1,x_2,x_3)+b(x_1',x_2',x_3'), \ (y_1,y_2,y_3)) = \\ \\ = a\varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) + b\varphi((x_1',x_2',x_3'),(y_1,y_2,y_3))

    Siano, allora

    (x_1,x_2,x_3), (x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}^3

    e a,b \in \mathbb{R}. Per com'è definita \varphi abbiamo che

    \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3=

    per la proprietà commutativa del prodotto e della somma tra numeri reali

    \\ =y_1x_1+2y_2x_2-y_2x_3-y_3x_2+2y_3x_3= \\ \\ = \varphi((y_1,y_2,y_3),(x_1,x_2,x_3))

    dunque \varphi è simmetrica. Vediamo se è lineare rispetto alla prima componente

    \varphi(a(x_1,x_2,x_3)+b(x_1',x_2',x_3'), \ (y_1,y_2,y_3))=

    svolgiamo le operazioni tra vettori

    =\varphi((ax_1+bx_1', \ ax_2+bx_2', \ ax_3+bx_3'), \ (y_1,y_2,y_3))=

    calcoliamo l'immagine mediante \varphi

    \\ =(ax_1+bx_1')y_1+2(ax_2+bx_2')y_2-(ax_2+bx_2')y_3 + \\ \\ -(ax_3+bx_3')y_2+2(ax_3+bx_3')y_3=

    svolgiamo i prodotti

    \\ =ax_1y_1+bx_1'y_1+2ax_2y_2+2bx_2'y_2-ax_2y_3-bx_2'y_3 + \\ \\ -ax_3y_2-bx_3'y_2+2ax_3y_3+2bx_3'y_3=

    raccogliamo rispetto ad a e rispetto a b

    \\ =a(x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3) + \\ \\ + b(x_1'y_1+2x_2'y_2-x_2'y_3-x_3'y_2+2x_3'y_3)=

    per com'è definita \varphi

    =a \varphi((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) + b \varphi ((x_1',x_2',x_3'),(y_1,y_2,y_3))

    Abbiamo così dimostrato che \varphi è lineare rispetto alla prima componente, pertanto è un prodotto scalare su \mathbb{R}^3.

    Verifica base ortogonale

    Per definizione, \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è una base ortogonale di \mathbb{R}^3 rispetto a \varphi se è una base di \mathbb{R}^3 e se i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 sono ortogonali a due a due, ossia se

    \varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3) = \varphi(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)=0

    Abbiamo già dimostrato che \mathcal{B} è una base di \mathbb{R}^3, dunque rimane da stabilire se \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 sono ortogonali a due a due rispetto a \varphi.

    \varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = \varphi((1,0,0), (0,1,0)) =

    applichiamo \varphi

    = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0

    Analogamente:

    \varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3) = \varphi\left((1,0,0), \left(0,\frac{1}{2},1\right)\right) =

    applichiamo \varphi

    = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0

    Infine:

    \\ \varphi(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) = \varphi\left((0,1,0), \left(0,\frac{1}{2},1\right)\right) = \\ \\ \\ = 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 0 \cdot 1 = \\ \\ = 1-1 = 0

    In definitiva, \mathcal{B} è una base ortogonale rispetto a \varphi e l'esercizio è concluso.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare