Derivata prima e seconda di funzione fratta

Question

Mi potete spiegare come calcolare le derivate prima e seconda di una funzione fratta? La funzione che devo derivare è: f(x) = -(x^4)/(x^3+2) Grazie a tutti!

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Per derivare la funzione f(x) = -(x^4)/(x^3+2) dobbiamo ricorrere alla regola di derivazione del rapporto di funzioni: (d)/(dx)(N(x))/(D(x)) = (N'(x)·D(x)-N(x)·D'(x))/([D(x)]^2) Nota che le derivate di numeratore e denominatore vanno calcolate separatamente e riportate nella formula. Il segno meno lo lascio fuori sfruttando un'altra regola di derivazione relativa alla derivata del prodotto di una funzione per un coefficiente numerico f'(x) = -((d)/(dx)[x^4]·(x^3+2)-x^4·(d)/(dx)[x^3+2])/((x^3+2)^2) Le derivate coinvolte sono piuttosto semplici: basta ricordare le derivate fondamentali ed in particolare la derivata di una potenza f'(x) = -(4x^3·(x^3+2)-x^4·(3x^2+0))/((x^3+2)^2) = Da qui per arrivare all'espressione della derivata prima è sufficiente fare un paio di semplici calcoli = -(4x^6+8x^3-3x^6)/((x^3+2)^2) per cui, in definitiva f'(x) = -(x^6+8x^3)/((x^3+2)^2) Per calcolare la derivata seconda, deriviamo la derivata prima f'(x) in accordo con la teoria delle derivate di ordine superiore f''(x) = (d)/(dx)f'(x) = -((d)/(dx)[x^6+8x^3]·(x^3+2)^2-(x^6+8x^3)·(d)/(dx)[(x^3+2)^2])/([(x^6+8^3)^2]^2) A denominatore usiamo una nota proprietà delle potenze, mentre a numeratore calcoliamo le derivate richieste. Nota che sul secondo addendo dobbiamo applicare il teorema per la derivata della funzione composta f''(x) = -((6x^5+24x^2)·(x^3+2)^2-(x^6+8x^3)·2(x^3+2)3x^2)/((x^3+2)^4) È il momento di semplificare l'espressione della derivata seconda. Svolgo i calcoli a numeratore e prendo in considerazione il denominatore solamente alla fine. Per prima cosa sviluppo il quadrato del binomio sul primo termine e moltiplico la prima parentesi del secondo addendo per 6x^2 ; (6x^5+24x^2)·(x^3+2)^2-(x^6+8x^3)·2(x^3+2)3x^2 = ; (6x^5+24x^2)(x^6+4x^3+4)-(6x^8+48x^5)(x^3+2) = ; 6x^(11)+24x^8+24x^5+24x^3+96x^5+96x^2-6x^(11)-12x^8-48x^8-96x^5 = Facendo i conti, otteniamo = 24x^5+96x^2-12x^8 Riscriviamo l'espressione della derivata seconda f''(x) = -(24x^5+96x^2-12x^8)/((x^3+2)^4) o, meglio f''(x) = (-24x^5-96x^2+12x^8)/((x^3+2)^4) Effettuiamo un raccoglimento totale sul numeratore f''(x) = (12x^2(x^6-2x^3-8))/((x^3+2)^4) Scomponiamo il polinomio a numeratore con la regola della somma per differenza f''(x) = (12x^2(x^3+2)(x^3-4))/((x^3+2)^4) e semplifichiamo, trovando l'espressione di f''(x). f''(x) = (12x^2(x^3-4))/((x^3+2)^3) Fine! Nel caso servisse, ti lascio il link per il tool di calcolo delle derivate online. ;) Namasté!