Soluzioni
  • Per derivare la funzione

    f(x)=-\frac{x^4}{x^3+2}

    dobbiamo ricorrere alla regola di derivazione del rapporto di funzioni:

    \frac{d}{dx}\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{N'(x)\cdot D(x)-N(x)\cdot D'(x)}{[D(x)]^2}

    Nota che le derivate di numeratore e denominatore vanno calcolate separatamente e riportate nella formula. Il segno meno lo lascio fuori sfruttando un'altra regola di derivazione relativa alla derivata del prodotto di una funzione per un coefficiente numerico

    f'(x)=-\frac{\frac{d}{dx}[x^4]\cdot (x^3+2)-x^4\cdot\frac{d}{dx}[x^3+2]}{(x^3+2)^2}

    Le derivate coinvolte sono piuttosto semplici: basta ricordare le derivate fondamentali ed in particolare la derivata di una potenza

    f'(x)=-\frac{4x^3\cdot (x^3+2)-x^4\cdot (3x^2+0)}{(x^3+2)^2}=

    Da qui per arrivare all'espressione della derivata prima è sufficiente fare un paio di semplici calcoli

    =-\frac{4x^6+8x^3-3x^6}{(x^3+2)^2}

    per cui, in definitiva

    f'(x)=-\frac{x^6+8x^3}{(x^3+2)^2}

    Per calcolare la derivata seconda, deriviamo la derivata prima f'(x) in accordo con la teoria delle derivate di ordine superiore

    f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=-\frac{\frac{d}{dx}[x^6+8x^3]\cdot (x^3+2)^2-(x^6+8x^3)\cdot \frac{d}{dx}[(x^3+2)^2]}{[(x^6+8^3)^2]^2}

    A denominatore usiamo una nota proprietà delle potenze, mentre a numeratore calcoliamo le derivate richieste. Nota che sul secondo addendo dobbiamo applicare il teorema per la derivata della funzione composta

    f''(x)=-\frac{(6x^5+24x^2)\cdot (x^3+2)^2-(x^6+8x^3)\cdot 2(x^3+2)3x^2}{(x^3+2)^4}

    È il momento di semplificare l'espressione della derivata seconda. Svolgo i calcoli  a numeratore e prendo in considerazione il denominatore solamente alla fine.

    Per prima cosa sviluppo il quadrato del binomio sul primo termine e moltiplico la prima parentesi del secondo addendo per 6x^2

    \\ (6x^5+24x^2)\cdot (x^3+2)^2-(x^6+8x^3)\cdot 2(x^3+2)3x^2=\\ \\ (6x^5+24x^2)(x^6+4x^3+4)-(6x^8+48x^5)(x^3+2)=\\ \\ 6x^{11}+24x^8+24x^5+24x^3+96x^5+96x^2-6x^{11}-12x^8-48x^8-96x^5=

    Facendo i conti, otteniamo

    =24x^5+96x^2-12x^8

    Riscriviamo l'espressione della derivata seconda

    f''(x)=-\frac{24x^5+96x^2-12x^8}{(x^3+2)^4}

    o, meglio

    f''(x)=\frac{-24x^5-96x^2+12x^8}{(x^3+2)^4}

    Effettuiamo un raccoglimento totale sul numeratore

    f''(x)=\frac{12x^2(x^6-2x^3-8)}{(x^3+2)^4}

    Scomponiamo il polinomio a numeratore con la regola della somma per differenza

    f''(x)=\frac{12x^2(x^3+2)(x^3-4)}{(x^3+2)^4}

    e semplifichiamo, trovando l'espressione di f''(x).

    f''(x)=\frac{12x^2(x^3-4)}{(x^3+2)^3}

    Fine! Nel caso servisse, ti lascio il link per il tool di calcolo delle derivate online. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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