Integrabilità con parametri e valore dell'integrale improprio

Dunque, in primo luogo è facile vedere che affinché la funzione sia positiva dobbiamo avere

perché modulo ed esponenziale sono sempre positive.

Passiamo a considerare l'integrale

Dobbiamo preoccuparci:

- dell'integrabilità in un intorno di 0 (se è negativo si vede subito che potrebbero esserci guai)

- che l'integrale esista su tutto e sia finito

In un intorno di zero

Riscriviamo l'integrale come

L'integranda è asintotica a

il cui integrale converge solamente nei casi in cui

cioè

.

Sull'intero asse reale (all'infinito)

Per valori di la convergenza dell'integrale è garantita dalla presenza del termine esponenziale a denominatore (valori inferiori di farebbero divergere l'integrale perché l'esponenziale passerebbe a numeratore).

Non è immediato però il valore attribuito al coefficiente , da quale osservazione viene dedotto? È un risultato di un libro? Fammi sapere...

Namasté! 

Ok, mi era sfuggita la parte della tua domanda in cui richiedevi che l'integrale valesse 1, e quindi in sostanza che avessimo a che fare con una densità. Ma vedo che non hai problemi in merito a quella parte dell'esercizio.

Nell'intorno di zero ci possono essere brutti, anzi oserei dire pessimi problemi perché, dato che a priori non sappiamo un'acciderbolina di quanto possa valere il parametro , può benissimo darsi che sia negativo e quindi far si che il termine

scivoli al denominatore, nel qual caso finiresti col dividere per zero ed avere una funzione che ha in , potenzialmente, una discontinuità di seconda specie.

Questo dovrebbe far suonare un campanello d'allarme e concentrare tutta la tua attenzione allo studio della convergenza dell'integrale, e quindi alla velocità di convergenza dell'integranda, nell'intorno del suddetto barbino punto .

Non tutto è perduto, però: avendo a denominatore, noti risultati di Analisi 1 ci dicono che possiamo avere

ossia

per avere un'integrale convergente nell'intorno di zero.

Namasté!