Soluzioni
  • Ciao Cirpote2, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Dunque, in primo luogo è facile vedere che affinché la funzione sia positiva dobbiamo avere

    c>0

    perché modulo ed esponenziale sono sempre positive.

    Passiamo a considerare l'integrale

    \int_{-\infty}^{+\infty}{c\frac{|x|^a}{e^{|x|^{a+1}}}dx}

    Dobbiamo preoccuparci:

    - dell'integrabilità in un intorno di 0 (se a è negativo si vede subito che potrebbero esserci guai)

    - che l'integrale esista su tutto \mathbb{R} e sia finito

    In un intorno di zero

    Riscriviamo l'integrale come

    \int{c\frac{1}{|x|^{(-a)}e^{|x|^{a+1}}}}

    L'integranda è asintotica a

    \frac{1}{|x|^{-a}}

    il cui integrale converge solamente nei casi in cui

    (-a)<1

    cioè

    a>-1.

    Sull'intero asse reale (all'infinito)

    Per valori di a>-1 la convergenza dell'integrale è garantita dalla presenza del termine esponenziale a denominatore (valori inferiori di a farebbero divergere l'integrale perché l'esponenziale passerebbe a numeratore).

    Non è immediato però il valore attribuito al coefficiente c, da quale osservazione viene dedotto? È un risultato di un libro? Fammi sapere...

    Namasté! 


     

    Risposta di Omega
  • la tua è una risposta completa, però dovrò rileggerla molto bene prima di capirla del tutto =), per quanto riguarda la c, si deve risolvere l'integrale, sapendo che su tutto R da 1 ( proprietà fondamentale della densità di probabilità di una variabile aleatoria). essendo l'integrale pari lo si smezza e si usa l'integrale noto di f(x)*e^f'(x). Tutto il resto è noioso facchinaggio algebrico!!! Potresti rispiegarmi un attimo come mai nell'intorno di zero si nota che ci sono dei problemi per favore?? è solo questo il punto un pò ostico da capire per me -.-. Grazie mille comunque!!

    Risposta di cirpote2
  • Ok, mi era sfuggita la parte della tua domanda in cui richiedevi che l'integrale valesse 1, e quindi in sostanza che avessimo a che fare con una densità. Ma vedo che non hai problemi in merito a quella parte dell'esercizio.

    Nell'intorno di zero ci possono essere brutti, anzi oserei dire pessimi problemi perché, dato che a priori non sappiamo un'acciderbolina di quanto possa valere il parametro a, può benissimo darsi che sia negativo e quindi far si che il termine

    |x|^{a}

    scivoli al denominatore, nel qual caso finiresti col dividere per zero ed avere una funzione che ha in x=0, potenzialmente, una discontinuità di seconda specie.

    Questo dovrebbe far suonare un campanello d'allarme e concentrare tutta la tua attenzione allo studio della convergenza dell'integrale, e quindi alla velocità di convergenza dell'integranda, nell'intorno del suddetto barbino punto x=0.

    Non tutto è perduto, però: avendo |x|^{-a} a denominatore, noti risultati di Analisi 1 ci dicono che possiamo avere

    (-a)<1

    ossia

    a>-1

    per avere un'integrale convergente nell'intorno di zero.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille per la risposta, ora è tutto più chiaro. Un ultima cosa, se posso. Mica potresti indicarmi un sito dove ripassare tutte queste simpaticissime proprietà della convergenza della funzione intengranda??

    Risposta di cirpote2
  • Ma certo: YouMath! Laughing

    Qui trovi le lezioni sugli integrali, e ad esempio:

    - criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie;

    - criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie.

    Se poi provi ad effettuare una ricerca, troverai tonnellate e tonnellate di esercizi sugli integrali impropri. Wink

    Risposta di Omega
  • Allora provo a fare così, namastè anche a te, e grazie ancora!!!!

    Risposta di cirpote2
 
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