Completare l'espressione dell'insieme delle primitive

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Salve ragazzi un esercizio chiede di completare l'espressione dell'insieme delle primitive nel calcolo di un integrale. Riporto il testo dell'esercizio sperando che possiate drmi una mano. Grazie in anticipo per l'aiuto!

Sia data la funzione g(x) = [ x^3-1] / [ x^2 + 1 ]. Completare l'espressione dell'insieme delle primitive di g:

 

Integrale di g(x) dx = 1/2 (x^2 - log(x^2+1) + ?) + C.

 

Possibili risposte: A) 2 arctg(x) ; B) -2 arctg(x) ; C) 4 arctg(x) ; D) -4 arctg(x).

Domanda di murizio1986

 
Soluzioni

  • Buongiorno Murizio1986, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Svolgiamolo direttamente, così abbiamo la certezza di quale sia la risposta esatta. Riscriviamo l'integrale nella forma

    ∫(x^3-1)/(x^2+1)dx = ∫(-x-1)/(x^2+1)+(x^3+x)/(x^2+1)

    dopo aver aggiunto e sottratto una x a numeratore, quindi

    = ∫((-x-1)/(x^2+1)+x)dx = -∫(x+1)/(x^2+1)+(x^2)/(2)+c

    Preoccupiamoci solamente del primo integrale

    -∫(x+1)/(x^2+1)dx = -∫(x)/(x^2+1)dx-∫(1)/(x^2+1)dx

    ora è facile vedere che

    = -(1)/(2)∫(2x)/(x^2+1)dx-arctan(x)+c =

    = -(1)/(2)log(x^2+1)-arctan(x)+c

    Dunque, mettendo tutto insieme e raccogliendo un 1/2 si vede che la risposta esatta è la B.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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