Problema di Trigonometria sulla circonferenza

Salve ragazzi avrei bisogno di qualche dritta per un problema goniometrico sulla circonferenza, scrivo il testo:

E' dato un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio 2a. Condotta dal punto medio C del raggio OA la perpendicolare a tale raggio fino ad incontrare in D l'arco AB, determinare sull'arco AD un punto P in modo che, indicando con F la proiezione ortogonale di P su OA, si abbia:

(2PF^2)+(PC^2) = (9-2√(2))a^2

Ponendo POA=x° si ha la soluzione x=45°.

Grazie mille in anticipo!

Domanda di Chiaritas
Soluzione

Disegna la figura e segui il mio ragionamento...pronti? Via!

Chiamando l'angolo POA = x, osserviamo che dobbiamo sostituire nell'equazione

2PF^2+PC^2 = (9-2√(2))a^2

delle espressioni per PF e PC dipendenti da x, in modo da ottenere un'equazione in x che poi avremo cura di risolvere.

Prima osservazione: in quanto raggi della circonferenza

PO = PA = 2a

Seconda osservazione: condizioni di esistenza delle soluzioni. Molto semplicemente, notiamo che x deve essere compreso tra 0^(o) e 90^(o), perché lavoriamo su un arco che è la quarta parte di una circonferenza.

Per trovare PF, ci basta notare che POF è rettangolo in F è quindi grazie alle ben note relazioni trigonometriche nei triangoli rettangoli

PF = 2asin(x)

Per trovare PC, possiamo applicare il teorema di Carnot (teorema del coseno) nel triangolo {/tex}POC{/tex}:

PC^2 = PO^2+OC^2-2PO·OCcos(POC) = 4a^2+a^2-4a^2cos(x) = a^2(5-4cos(x))

Ora non ci resta che sostituire nell'equazione i termini che abbiamo ottenuto:

8a^2sin^(2)(x)+a^2(5-4cos(x)) = (9-2√(2))a^2

cioè, grazie all'identità fondamentale della trigonometria (vedi il formulario sulle formule trigonometriche)

8(1-cos^2(x))+(5-4cos(x)) = (9-2√(2))

Svolgendo i calcoli, l'equazione si riduce a

4cos^(2)(x)+2cos(x)-2-√(2) = 0

e un'equazione goniometrica che si può risolvere per sostituzione, ponendo y = cos(x), e passando all'equazione

4y^2+2y-2-√(2) = 0

Risolvendo tale equazione di secondo grado, otteniamo le soluzioni

y = (1)/(√(2))

y = -1-(1)/(√(2))

Dato che y = cos(x), la seconda soluzione non è accettabile (perché il coseno assume valori compresi tra -1 ed 1), mentre dalla prima troviamo

cos(x) = (1)/(√(2))

cioè

x = 45^(o).

Namasté!

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
Ultima modifica:

Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria
Esercizi simili e domande correlate