Soluzioni
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    Chiamando l'angolo POA=x, osserviamo che dobbiamo sostituire nell'equazione

    2PF^2+PC^2=(9-2\sqrt{2})a^2

    delle espressioni per PF e PC dipendenti da x, in modo da ottenere un'equazione in x che poi avremo cura di risolvere.

     

    Prima osservazione: in quanto raggi della circonferenza

    PO=PA=2a

    Seconda osservazione: condizioni di esistenza delle soluzioni. Molto semplicemente, notiamo che x deve essere compreso tra 0^{o} e 90^{o}, perché lavoriamo su un arco che è la quarta parte di una circonferenza.

     

    Per trovare PF, ci basta notare che POF è rettangolo in F è quindi grazie alle ben note relazioni trigonometriche nei triangoli rettangoli

    PF=2a\sin{(x)}

     

    Per trovare PC, possiamo applicare il teorema di Carnot (teorema del coseno) nel triangolo {/tex}POC{/tex}:

    PC^2=PO^2+OC^2-2PO\cdot OC\cos{(POC)}=4a^2+a^2-4a^2\cos{(x)}=a^2(5-4\cos{(x)})

     

    Ora non ci resta che sostituire nell'equazione i termini che abbiamo ottenuto:

    8a^2\sin^{2}{(x)}+a^2(5-4\cos{(x)})=(9-2\sqrt{2})a^2

    cioè, grazie all'identità fondamentale della trigonometria (vedi il formulario sulle formule trigonometriche)

    8(1-\cos^2{(x)})+(5-4\cos{(x)})=(9-2\sqrt{2})

    Svolgendo i calcoli, l'equazione si riduce a

    4\cos^{2}{(x)}+2\cos{(x)}-2-\sqrt{2}=0

    e un'equazione goniometrica che si può risolvere per sostituzione, ponendo y=\cos{(x)}, e passando all'equazione

    4y^2+2y-2-\sqrt{2}=0

    Risolvendo tale equazione di secondo grado, otteniamo le soluzioni

    y=\frac{1}{\sqrt{2}}

    y=-1-\frac{1}{\sqrt{2}}

    Dato che y=\cos{(x)}, la seconda soluzione non è accettabile (perché il coseno assume valori compresi tra -1 ed 1), mentre dalla prima troviamo

    \cos{(x)}=\frac{1}{\sqrt{2}}

    cioè

    x=45^{o}.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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