Soluzioni
  • Prima di dedicarci ai calcoli, diamo la definizione di polinomio riducibile su un campo \mathbb{K}.

    Un polinomio p(x)\in\mathbb{K}[x] di grado n si dice riducibile sul campo \mathbb{K} se esistono due polinomi di grado maggiore o al più uguale 1 q(x) \ \mbox{e} \ r(x)\in\mathbb{K}[x] tali che p(x) si esprime nel loro prodotto, vale a dire:

    p(x)=q(x)\cdot r(x)

    Se i polinomi q(x)\ \mbox{e} \ r(x) non esistono, allora diremo che il polinomio p(x) è irriducibile in \mathbb{K}.

    Osserviamo immediatamente che l'esistenza di q(x)\ \mbox{e} \ r(x) dipende fortemente dal campo \mathbb{K} su cui stiamo lavorando, proprio perché i coefficienti dei polinomi devono appartenere al campo \mathbb{K}: può succedere che lo stesso polinomio risulti irriducibile in un campo \mathbb{K}_{1}, mentre è riducibile in un campo \mathbb{K}_{2} che contiene \mathbb{K}_{1}.

    Dopo questa premessa teorica, occupiamoci del problema e indichiamo con p(x) il polinomio x^4-9

    p(x)=x^4-9

    Esso è la differenza tra il quadrato di x^2 e il quadrato di 3, per cui si scompone nel prodotto tra la somma e la differenza dei monomi x^2\ \mbox{e} \ 3:

    p(x)=(x^2-3)(x^2+3)

    I polinomi che compongono il prodotto sono

    q(x)=x^2-3\ \ \ \mbox{e} \ \ \ r(x)=x^2+3

    ed entrambi appartengono sia a \mathbb{Q}[x] sia a \mathbb{R}[x], infatti sono entrambi a coefficienti razionali (interi).

    Osserviamo a questo punto che il polinomio q(x)=x^2-3 è la differenza tra il quadrato di x e quello di \sqrt{3}, per cui si scompone ulteriormente nel seguente prodotto:

    q(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

    Attenzione! I fattori x-\sqrt{3}\ \mbox{e} \ x+\sqrt{3} non sono a coefficienti razionali, infatti \sqrt{3} è un numero reale, ma non razionale: non può essere espresso come rapporto di numeri interi.

    Il polinomio r(x)=x^2+3 è irriducibile in \mathbb{R} perché somma di due quadrati, uno dei quali positivo.

    Queste considerazioni ci autorizzano a concludere che la scomposizione del polinomio:

    p(x)=x^4-9

    è

    p(x)=(x^2-3)(x^2+3) sull'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q};

    p(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+3) sull'insieme dei numeri reali \mathbb{R}.

    Approfondimento: nell'insieme dei numeri complessi \mathbb{C}, il teorema fondamentale dell'Algebra garantisce che il polinomio p(x) si decompone nel prodotto di quattro polinomi di primo grado e a coefficienti complessi. La scomposizione è:

    p(x)=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+i\sqrt{3})(x-i\sqrt{3})

    dove i è l'unità immaginaria.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra