Soluzioni
  • Eccomi, ciao Giulialg88 il tempo di scrivere qualcosa di sensato! :)

    Risposta di Ifrit
  • Iniziamo col dire che bisogna effettuare la scomposizione canonica. 

    In \mathbb{R}[x], il polinomio si scompone come:

    x^4-9= (x^2-3)(x^2+3)= (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+3)

    In pratica hai una differenza di quadrati. Ti faccio notare che x^2+3 è irriducibile in \mathbb{R} perché il discriminante associato è negativo.

     

    La situazione è più delicata per \mathbb{Q}[x]. In questo caso il polinomio si scompone come:

    x^4-9= (x^2-3)(x^2+3)

    Null'altro possiamo fare. Non possiamo scomporre ulteriormente x^2-3, perché \sqrt{3}\notin \mathbb{Q}

     

    Se hai domande, io sono qui, nella speranza che io sappia risponderti :D

    Risposta di Ifrit
  • Quindi in \mathbb{Q}[x] il polinomio x^4-9 è già irriducibile mentre in \mathbb{R}[x] lo possiamo scrivere come:

    x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+3){/tex}

    e quindi è riducibile, giusto?

    Risposta di Giulialg88
  • quindi in Q[x] il polinomio x4-9 è già irriducibile mentre in R[x] lo possiamo scrivere come

    x^4-9= (x^2-3)(x^2+3)= (x-sqrt{3})(x+sqrt{3})(x^2+3) 

    e quindi è riducibile

    giusto?

    Seguimi attentamente :)

    x^4-9 è riducibile sia in \mathbb{R}[x] e \mathbb{Q}[x] solo che non hanno la stessa fattorizzazione.

    Ricordiamo la definizione di polinomio riducibile:

    Definizione: Un polinomio p(x)\in \mathbb{K}[x] di grado n, si dice riducibile in \mathbb{K} se e solo se esistono q(x), r(x)\in \mathbb{K}[x], di grado minore di n,  tale che p(x) si lascia esprimere come prodotto di questi polinomi.

    p(x)= q(x)r(x)

    Nel nostro caso, sia in \mathbb{R}[x] che in \mathbb{Q}[x], il nostro polinomio è riducibile, solo che ha diversa fattorizzazione, il perché lo spiegato prima. Ti faccio notare che la fattorizzazione di un polinomio dipende fortemente dall'insieme \mathbb{K}

    Risposta di Ifrit
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