Scomposizione in fattori irriducibili in R[X] e Q[X]

Question

Ho bisogno di una mano per scomporre un polinomio nello spazio dei polinomi a coefficienti razionali Q[x] e in quello dei polinomi a coefficienti reali R[x]. Ho tentato diversi approcci, senza però riuscirci. Scomporre il polinomio x^4-9 nel prodotto di fattori irriducibili in Q[x] e R[x]. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Prima di dedicarci ai calcoli, diamo la definizione di polinomio riducibile su un campo .

Un polinomio di grado si dice riducibile sul campo se esistono due polinomi di grado maggiore o al più uguale 1 tali che si esprime nel loro prodotto, vale a dire:

Se i polinomi non esistono, allora diremo che il polinomio è irriducibile in .

Osserviamo immediatamente che l'esistenza di dipende fortemente dal campo su cui stiamo lavorando, proprio perché i coefficienti dei polinomi devono appartenere al campo : può succedere che lo stesso polinomio risulti irriducibile in un campo , mentre è riducibile in un campo che contiene .

Dopo questa premessa teorica, occupiamoci del problema e indichiamo con il polinomio

Esso è la differenza tra il quadrato di e il quadrato di , per cui si scompone nel prodotto tra la somma e la differenza dei monomi :

I polinomi che compongono il prodotto sono

ed entrambi appartengono sia a sia a , infatti sono entrambi a coefficienti razionali (interi).

Osserviamo a questo punto che il polinomio è la differenza tra il quadrato di e quello di , per cui si scompone ulteriormente nel seguente prodotto:

Attenzione! I fattori non sono a coefficienti razionali, infatti è un numero reale, ma non razionale: non può essere espresso come rapporto di numeri interi.

Il polinomio è irriducibile in perché somma di due quadrati, uno dei quali positivo.

Queste considerazioni ci autorizzano a concludere che la scomposizione del polinomio:

è

sull'insieme dei numeri razionali ;

sull'insieme dei numeri reali .

Approfondimento: nell'insieme dei numeri complessi , il teorema fondamentale dell'Algebra garantisce che il polinomio si decompone nel prodotto di quattro polinomi di primo grado e a coefficienti complessi. La scomposizione è:

dove è l'unità immaginaria.

Ecco fatto!