Soluzioni
  • Ciao Lolloviola, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Il limite in questione è

    \lim_{x\to+\infty}{[\frac{3+5x^2}{2-4x+kx^2}]^{(k+1)x}}

    e per risolverlo, ragioniamo così. Innanzitutto, osserviamo che se k=0, il limite è evidentemente infinito, perché avremmo, nel contesto dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi una forma (non di indecisione)

    (+\infty)^{+\infty}=+\infty

    Se k=-1, invece, avremmo esponente 1 e da un rapido confronto tra infiniti il limite varrebbe

    \frac{5}{-1}=-5

    Ora immaginiamo che k>0. In tal caso avremmo, ancora per il confronto tra infiniti

    \left(\frac{5}{k}\right)^{(k+1)x}

    se k è compreso tra 0 e 5, il limite vale +\infty, mentre se k è maggiore di 5 il limite vale 0 (tutto si gioca sulla potenza).

    Se k=5 ci ritroveremmo con una forma di indecisione

    1^{\infty}.

    che risolveremo per ultima.

    Prima preoccupiamoci del caso in cui {tex}k

    \left(\frac{5}{k}\right)^{(k+1)x}

    se k è compreso tra -1 e 0 il limite non esiste (tende a valori illimitati oscillando tra valori negativi e valori positivi), mentre se k è minore di -1 il limite vale 0.

    Per quanto riguarda il caso k=5, si può riscrivere la funzione nella forma 

    f(x)=g(x)^{h(x)}=e^{h(x)\log{(g(x))}}=e^{\frac{\log{(g(x))}}{\frac{1}{h(x)}}}

    e utilizzare il teorema di De l'Hôpital.

    Il risultato è e^{\frac{24}{5}}

    Namasté

     

    Risposta di Omega
  • ho alcuni dubbi...

    quando k= -1 all esponente non ho una forma indeterminata 0 * infinity ????

    quando k > 5 non riesco a capire come mai non viene uguale a quello sopra ma come si deve lavorare cn le potenze??

    successivamente cosa significa {tex}k?

    non mi torna nemmeno che per k < -1 il limite vale 0

    e come ultima cosa nn capisco i passaggi per k=5!

     

    grazie

    Risposta di lolloviola
  • "quando k= -1 all esponente non ho una forma indeterminata 0 * infinity ????"

    No, perché in quel caso non hai nemmeno l'esponente.

    "quando k > 5 non riesco a capire come mai non viene uguale a quello sopra ma come si deve lavorare cn le potenze??"

    Succede perché, dal confronto tra infiniti, la frazione interna alla parentesi tende a 1 se k=5, mentre tende ad un numero minore di 1 se k>5. L'unico caso in cui ti trovi effettivamente ad avere una forma di indecisione è k=5.

    "successivamente cosa significa {tex}k?"

    Un errore di codice LaTeX Laughing

    "non mi torna nemmeno che per k < -1 il limite vale 0"

    In questo caso è perché avrai -\infty all'esponente e come base una funzione che tende ad un numero negativo. Quindi il limite vale 0.

    "e come ultima cosa nn capisco i passaggi per k=5!"

    Ho semplicemente fatto usa della definizione di logaritmo:

    f(x)^{g(x)}=e^\log{(f(x))^g(x)}}=e^{g(x)\log{(f(x))}}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • nel caso k= -1 l'esponente lo abbiamo perchè ho (-1+1)x  e sostituendo ottengo (0)*infinity quindi forma indeterminata

    nel caso k>5 se dò un valore, per esempio k=8...come faccio a dire che la frazione tende a 1?..

    nel caso k<-1 ho capito

    nel caso k=5 mi potresti scrivere i passaggi? grazie

     

    Risposta di lolloviola
  • "nel caso k= -1 l'esponente lo abbiamo perchè ho (-1+1)x  e sostituendo ottengo (0)*infinity quindi forma indeterminata"

    Non credo proprio...l'esponente non c'è a priori. Il valore di k lo consideri prima di passare al limite, per k=-1 hai una funzione che non ha esponente poi ne calcoli il limite. Occhio a non invertire l'ordine logico...

    "nel caso k>5 se dò un valore, per esempio k=8...come faccio a dire che la frazione tende a 1?.."

    La frazione tenderebbe in tal caso a \frac{5}{8}. Se k=5 allora la frazione tende ad 1.

    "nel caso k=5 mi potresti scrivere i passaggi?grazie"

    un attimo e sono da te. Wink

    Risposta di Omega
  • Nel caso k=5 ragioniamo per confronti asintotici. Per x\to \infty

    \frac{5x^2+3}{5x^2-4x+2}\sim\frac{5x^2}{5x^2-4x}

    ora sommiamo e sottraiamo -4x+4x

    \frac{5x^2-4x+4x}{5x^2-4x}

    dividiamo termine a termine

    =1+\frac{4x}{5x^2-4x}=1+\frac{1}{\frac{5x^2-4x}{4x}}=

    ossia

    1+\frac{1}{\frac{5}{4}x-1}\sim 1+\frac{1}{\frac{5}{4}x}

    Tornando al limite:

    \left[1+\frac{1}{\frac{5}{4}x}\right]^{6x}=\left[1+\frac{1}{\frac{5}{4}x}\right]^{\frac{5}{4}x\frac{4}{5}6}

    Applichiamo un notissimo :) limite notevole e troviamo

    e^{\frac{4}{5}6}=e^{\frac{24}{5}}

    Se ci sono problemi, fammi sapere! Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si qui ci siamo.....ma per i casi che dicevo prima???

    Risposta di lolloviola
  • Ma...c'era qualcosa di oscuro nella mia penultima risposta?

    Risposta di Omega
  • nono per k = 5 ci sono, chiedevo soltanto per gli altri casi come mi devo comportare. =)

    Risposta di lolloviola
  • Intendi k=-1 e k>5?

    Per k=-1 devi solo osservare che l'esponente non c'è, perché la sostituzione del valore del parametro k viene effettuata prima di passare al limite, dunque non si pone il problema di avere un infinito a esponente.

    Per k>5 hai

    \frac{3+5x^2}{2-4x+kx^2}\sim\frac{5x^2}{kx^2}=\frac{5}{k}

    avendo effettuato un confronto asintotico tra ordini di infinito. Dunque, essendo k>5 risulta che

    \frac{5}{k}<1

    e quindi essendo una potenza con base compresa tra zero ed uno all'infinito tende a zero.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
 
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