Funzione lineare iniettiva o suriettiva dal determinante

Indichiamo con uno spazio vettoriale finitamente generato su , con una base di e con un endomorfismo su , ossia un'applicazione lineare da in .

Detta la matrice associata a rispetto alla base , dobbiamo dimostrare che è un automorfismo se e solo se il determinante di è diverso da zero.

Procediamo!

Supponiamo, senza perdere di generalità, che la dimensione di sia uguale a . Per com'è definita la matrice associata a un'applicazione lineare, è una matrice quadrata di ordine .

Assumiamo, come ipotesi, che sia un automorfismo e proviamo che il determinante di è diverso da zero.

Un automorfismo è un endomorfismo sia iniettivo che suriettivo. In particolare, dalla suriettività di si ha che l'immagine della trasformazione coincide con il codominio

cosicché la dimensione dell'immagine è pari alla dimensione di

Ora, la dimensione di è uguale al rango della matrice e ciò vuol dire che il rango di dev'essere uguale a .

Come già ricordato, è una matrice quadrata ed ha rango uguale a se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

Viceversa, supponiamo che il determinante di sia diverso da zero e dimostriamo che è un automorfismo.

Poiché il determinante di è non nullo, il suo rango, e quindi la dimensione di , è pari a

Poiché è un sottospazio vettoriale di avente la sua stessa dimensione abbiamo che

e ciò prova che è suriettiva.

Detto il nucleo di , dal teorema delle dimensioni segue che

e quindi è iniettiva. Ricordiamo, infatti, che una condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione lineare sia iniettiva è che il suo nucleo sia banale, ossia che abbia dimensione pari a zero.

In definitiva, un endomorfismo sia iniettivo che suriettivo, quindi è un automorfismo, e la dimostrazione è conclusa.