Soluzioni
  • Indichiamo con V uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{R}, con \mathcal{B} una base di V e con F un endomorfismo su V, ossia un'applicazione lineare da V in V.

    Detta A la matrice associata a F rispetto alla base \mathcal{B}, dobbiamo dimostrare che F è un automorfismo se e solo se il determinante di A è diverso da zero.

    Procediamo!

    Supponiamo, senza perdere di generalità, che la dimensione di V sia uguale a n. Per com'è definita la matrice associata a un'applicazione lineare, A è una matrice quadrata di ordine n.

    Assumiamo, come ipotesi, che F sia un automorfismo e proviamo che il determinante di A è diverso da zero.

    Un automorfismo è un endomorfismo sia iniettivo che suriettivo. In particolare, dalla suriettività di F si ha che l'immagine della trasformazione F coincide con il codominio

    \mbox{Im}(F)=V

    cosicché la dimensione dell'immagine è pari alla dimensione di V

    \mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=\mbox{dim}(V)=n

    Ora, la dimensione di \mbox{Im}(F) è uguale al rango della matrice A e ciò vuol dire che il rango di A dev'essere uguale a n.

    Come già ricordato, A è una matrice quadrata n \times n ed ha rango uguale a n se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

    Viceversa, supponiamo che il determinante di A sia diverso da zero e dimostriamo che F è un automorfismo.

    Poiché il determinante di A è non nullo, il suo rango, e quindi la dimensione di \mbox{Im}(F), è pari a n

    \mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=n=\mbox{dim}(V)

    Poiché \mbox{Im}(F) è un sottospazio vettoriale di V avente la sua stessa dimensione abbiamo che

    \mbox{Im}(F)=V

    e ciò prova che F è suriettiva.

    Detto \mbox{Ker}(F) il nucleo di F, dal teorema delle dimensioni segue che

    \\ \mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=\mbox{dim}(V)-\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))= \\ \\ = n-n=0

    e quindi F è iniettiva. Ricordiamo, infatti, che una condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione lineare sia iniettiva è che il suo nucleo sia banale, ossia che abbia dimensione pari a zero.

    In definitiva, F un endomorfismo sia iniettivo che suriettivo, quindi è un automorfismo, e la dimostrazione è conclusa.

    Risposta di Galois
 
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