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  • Ciao povi! Ti rispondo subito, dammi solo un momento...

    Risposta di hagrid_ilbotto
  • Innanzitutto trattandosi di funzioni lineari avremo a che fare con funzioni del tipo:

    f:\quad V\quad \rightarrow \quad W

    Ricordiamo che per avere una matrice associata all'applicazione è necessario fissare una base nel dominio e nel codominio. Ora la funzione sarà una funzione iniettiva(*) se le immagini dei vettori della base sono dei vettori a loro volta linearmente indipendenti e sarà una funzione suriettiva(*) se le immagini dei vettori della base generano l'intero spazio del codominio.

    Quindi possiamo concludere che sarà infine biettiva se le immagini dei vettori della base del dominio sono una base del codominio. Le immagini dei vettori della base in termini di matrici vengono rappresentati dalle colonne della matrice associata alla funzione.

     

    (*)Le lezioni dei link fanno riferimento alle funzioni reali e non ad applicazioni lineari, ma la logica è del tutto analoga per quanto riguarda il metodo analitico.

     

    A questo punto dobbiamo distinguere due casi, ossia dim(V)=dim(W),\quad dim(V)\neq dim(W), infatti ti ricordo che il determinante è definito e lo si può calcolare solo esclusivamente su matrici quadrate (quindi con egual numero di righe e colonne), quindi quando la tua funzione f è definita su due spazi di uguale dimensione.

    In questo caso la matrice associata alla funzione sarà quadrata e potrà avere determinante uguale oppure diverso da 0 (è l'unica distinzione rilevante). Quando avrà determinante diverso da zero sicuramente la funzione sarà biettiva. Infatti la matrice associata avrà un numero di colonne pari alla dimensione del codominio che oltretutto saranno dei vettori linearmente indipendenti.

     

    Quando invece il determinante è pari a 0 sicuramente la funzione non potrà essere suriettiva in quanto non disponiamo di un numero tale di colonne linearmente indipendenti per poter generare l'intero codominio; tanto meno avremo tutte le colonne linearmente indipendenti per questo non sarà nemmeno iniettiva. Ti invito a guardare il post nel forum che linko sotto per notare come se la dimensione del dominio e del codominio sono uguali allora iniettività e suriettività sono legate e sono presenti sempre contemporaneamente. Per quanto riguarda matrici non quadrate quindi trasformazioni tra spazi di diverse dimensioni abbiamo più casi. 

    Se la dimensione del codominio è maggiore di quella del dominio sicuramente non potrà essere suriettiva e sarà iniettiva solo nel caso il cui il rango della matrice associata sia massimo (questo segue dalle considerazioni precedenti); mentre se la dimensione del dominio è maggiore di quella del codominio la funzione sarà al più suriettiva nel caso in cui il rango della matrice associata sia massimo.

     

    Se hai esempi di esercizi chiedi pure ;)

    Spero di essere stato chiaro scusa per averci messo molto ma la domanda era un po' generica e ha richiesto un po' di tempo per essere svolta :) 

    Ciao!

     

    Risposta di hagrid_ilbotto
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