Eccomi, ciao Erika, il tempo di scrivere la risposta! :)
E' una successione definita per ricorrenza:
Sappiamo per ipotesi che la successione converge, di conseguenza:
dove
è un numero finito. Da questo segue anche che:
Di conseguenza il limite deve rispettare l'uguaglianza:
cioè:
Moltiplicando membro a membro
otteniamo:
Le soluzioni sono ovviamente:
Grazie mille. :)
E se ponessi ad esempio x0=2 invece di x0 >0 cambierebbe qualcosa?
Non cambierebbe nulla, l'importante è che a>0, perché se non lo fosse allora non avrebbe senso
.
non influenza il valore del limite.:)
ok grazie :)
per dimostrare la convergenza invece come dovrei fare?
Non devi dimostrare la convergenza, l'esercizio te lo dà per assodato, a meno che non sia un punto aggiuntivo, fammi sapere. Io intanto ci penso :)
si è scritto nel punto successivo..
Erika ci ho riflettuto molto (troppo forse)
Innanzitutto per questo tipo di esercizi è necessario dimostrare che la successione ricorsiva è:
• Limitata
• Monotona.
in questo modo possiamo utilizzare il teorema sui limiti di funzioni monotone limitate:
Teorema: Ogni successione monotona e limitata ammette limite finito.
------------------------------------------------
Limitatezza: Innanzitutto osserva che la successione è a termini positivi, è facile da mostrare, abbiamo somme di numeri positivi ad ogni iterata.
Sappiamo che
Chiamando
Otteniamo che:
Semplificando opportunamente otterrai:
La successione in gioco è quindi limitata inferiormente. Se inoltre è decrescente siamo a cavallo.
Monotonia
Segue, quindi,
Abbiamo ottenuto che la successione è decrescente se e solo se
ma prima abbiamo visto che questo è vero per ogni n (tranne per ).La combo: decrescenza+ limitatezza ci assicurano la convergenza della successione.
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