Soluzioni
  • Eccomi, ciao Erika, il tempo di scrivere la risposta! :)

    Risposta di Ifrit
  • E' una successione definita per ricorrenza:

    \begin{cases}x_{n+1}= \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\\ x_0>0\end{cases}

    Sappiamo per ipotesi che la successione converge, di conseguenza:

    \lim_{n\to \infty}x_n =\ell

    dove \ell \in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} è un numero finito. Da questo segue anche che:

    \lim_{n\to \infty}x_{n+1}=\ell

    Di conseguenza il limite deve rispettare l'uguaglianza:

    \lim_{n\to \infty}x_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)

    cioè:

    \ell= \frac{1}{2}\left(\ell+\frac{a}{\ell}\right)

    2\ell=\ell +\frac{a}{\ell}

    \ell= \frac{a}{\ell}

    Moltiplicando membro a membro \ell otteniamo:

    \ell^2= a

    Le soluzioni sono ovviamente:

    \ell_1=\sqrt{a}\qquad\qquad \ell_2=-\sqrt{a}

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille. :)

    E se ponessi ad esempio x0=2 invece di x0 >0 cambierebbe qualcosa?

    Risposta di Erika
  • Non cambierebbe nulla, l'importante è che a>0, perché se non lo fosse allora non avrebbe senso \sqrt{a}.

    x_0 non influenza il valore del limite.

    :)

    Risposta di Ifrit
  • ok grazie :)

    per dimostrare la convergenza invece come dovrei fare?

    Risposta di Erika
  • Non devi dimostrare la convergenza, l'esercizio te lo dà per assodato, a meno che non sia un punto aggiuntivo, fammi sapere. Io intanto ci penso :)

    Risposta di Ifrit
  • si è scritto nel punto successivo..

    Risposta di Erika
  • Erika ci ho riflettuto molto (troppo forse)

    Innanzitutto per questo tipo di esercizi è necessario dimostrare che la successione ricorsiva è:

    • Limitata

    • Monotona.

    in questo modo possiamo utilizzare il teorema sui limiti di funzioni monotone limitate:

    Teorema: Ogni successione monotona e limitata ammette limite finito.

    ------------------------------------------------

    Limitatezza: Innanzitutto osserva che la successione è a termini positivi, è facile da mostrare, abbiamo somme di numeri positivi ad ogni iterata.

    Sappiamo che (A-B )^2\ge 0\implies A^2+B^2\ge 2AB

    Chiamando

    A=\sqrt{\frac{x_n}{2}}

    B=\sqrt{\frac{a}{2 x_n}}

    Otteniamo che:

    x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{a}{2 x_n}\ge 2 \sqrt{\frac{x_n}{2}}\sqrt{\frac{a}{2 x_n}}

     

    Semplificando opportunamente otterrai:

    x_{n+1}\ge \sqrt{a}\qquad\qquad\forall n

    La successione in gioco è quindi limitata inferiormente. Se inoltre è decrescente siamo a cavallo.

    Monotonia

    x_{n+1}\le x_n\iff \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\le x_n

     

    Segue, quindi,

    x_n+\frac{a}{x_n}\le 2x_n

    \frac{a}{x_n}\le x_n

    a\le x_n^2

    Abbiamo ottenuto che la successione è decrescente se e solo se x_n\ge \sqrt{a} ma prima abbiamo visto che questo è vero per ogni n (tranne per x_0).

     

    La combo: decrescenza+ limitatezza ci assicurano la convergenza della successione.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi