Valori del parametro in un fascio di rette

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CIAO, MI SPIEGATE IL PROCEDIMENTO PER RISOLVERE UN FASCIO DI RETTE? DEVO TROVARE IL VALORE DEL PARAMETRO IN MODO CHE ESSO SODDISFI ALCUNI PUNTI...

 

IL FASCIO E': (3+k)x+(k-1)y+3k = 0

 

DEVO DETERMINARE K AFFINCHE':

 

1) IL TERMINE DI PRIMO GRADO DI X ABBIA IL COEFFICIENTE UGUALE A 1/3

 

2) LA RETTA PASSI PER L'ORIGINE

 

3) LA RETTA SIA PERPENDICOLARE ALLA RETTA 6x-2y+9 = 0

 

4) PASSI PER A(-1;2)

 

5) ABBIA IL COEFFICIENTE ANGOLARE m=-2.

Domanda di Jaki

 
Soluzioni

  • Ciao Jaki!

     

    1. poniamo il coefficiente del termine in x uguale a 1/3:

    3+k = (1)/(3)

    Ora basta risolvere l'equazione di primo grado per trovare il valore di k cercato:

    9+3k = 1

    (abbiamo calcolato il denominatore comune)

    3k = 1-9

    (abbiamo portato a destra k e a sinistra tutti i numeri) 

    k = -(8)/(3)

    (abbiamo sommato e poi divisto tutto per 3)

     

    2. Dire che la retta passa per l'origine è del tutto equivalente a dire che l'origine, cioè il punto di coordinate (0,0) appartiene alla retta.

    Quindi se sostituiamo al posto di x e y nell'equazione del fascio di rette i valori 0 e 0 l'uguaglianza deve essere verificata, questo ci permetterà di dare un valore a k.

    Forse è più facile a farsi che a dirsi:

    (3+k)x+(k-1)y+3k = 0

    questa è l'equazione in cui dobbiamo sostituire (x,y)=(0,0)

    (3+k)0+(k-1)0+3k = 0

    moltiplicare qualunque numero per zero dà zero, quindi otteniamo

    0+0+3k = 0

    cioè

    3k = 0

    che è semplicemente

    k = 0

     

    3. Due rette sono perpendicolari quandi i coefficienti angolari sono rispettivamente l'uno l'opposto del reciproco dell'altro.

    Ora per non fare confusione diamo dei nomi alle rette: chiamiamo P la retta parametrica e R la retta che dobbiamo studiare in questo punto dell'esercizio.

    Mettiamole in forma esplicita (y=...) in modo da determinare il coefficiente angolare.

    Esplicitiamo la generica retta del fascio

    (k-1)y = -(3+k)x-3k

    y = -(3+k)/(k-1)x-(3k)/(k-1)

    il coefficiente angolare è il coefficiente del termine in x, quindi

    m_P = -(3+k)/(k-1)

    Facciamo la stessa cosa con la retta:

    6x-2y+9 = 0

    (lasciamo a sinistra la y e sommando e dividendo portiamo tutti gli altri termini a destra)

    y = (6)/(2)x+(9)/(2)

    quindi, essendo il coefficiente angolare della retta il coefficiente del termine in x si ha

    m_R = 3.

    Abbiamo detto che due rette sono perpendicolari se i coefficienti angolari sono uno l'opposto del  reciproco dell'altro, cioè

    m_P = -(1)/(m_R)

    cioè

    -(3+k)/(k-1) = -(1)/(3)

    risolvendo l'equazione ottieni

    9+3k = k-1

    2k = -10

    k = -5

     

    4. Questo punto è esattamente come il punto 2. Basta sostituire all'interno dell'equazione del fascio di rette le coordinate del punto A al posto di x e y:

    (3+k)(-1)+(k-1)2+3k = 0

    -3-k+2k-2+3k = 0

    4k = 5

    k = (5)/(4)

     

    5. Grazie al punto 3. sappiamo che il coefficiente angolare della retta con parametro è 

    m_P = -(3+k)/(k-2)

    quindi basta

    m_P = -2

    -(3+k)/(k-1) = -2

    togliamo i meno a entrambi i termini dell'equazione

    (3+k)/(k-1) = 2

    moltiplichiamo tutto per (k-1)

    3+k = 2k-2

    k = 5.

     

    Ecco fatto. Per qualunque problema scrivi ancora!

    Alpha.

    Risposta di Alpha
 
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