Soluzioni
  • Ciao Jaki!

     

    1. poniamo il coefficiente del termine in x uguale a 1/3:

    3+k=\frac{1}{3}

    Ora basta risolvere l'equazione di primo grado per trovare il valore di k cercato:

    9+3k=1

    (abbiamo calcolato il denominatore comune)

    3k=1-9

    (abbiamo portato a destra k e a sinistra tutti i numeri) 

    k=-\frac{8}{3}

    (abbiamo sommato e poi divisto tutto per 3)

     

    2. Dire che la retta passa per l'origine è del tutto equivalente a dire che l'origine, cioè il punto di coordinate (0,0) appartiene alla retta.

    Quindi se sostituiamo al posto di x e y nell'equazione del fascio di rette i valori 0 e 0 l'uguaglianza deve essere verificata, questo ci permetterà di dare un valore a k.

    Forse è più facile a farsi che a dirsi:

    (3+k)x+(k-1)y+3k=0

    questa è l'equazione in cui dobbiamo sostituire (x,y)=(0,0)

    (3+k)0+(k-1)0+3k=0

    moltiplicare qualunque numero per zero dà zero, quindi otteniamo

    0+0+3k=0

    cioè

    3k=0

    che è semplicemente

    k=0

     

    3. Due rette sono perpendicolari quandi i coefficienti angolari sono rispettivamente l'uno l'opposto del reciproco dell'altro.

    Ora per non fare confusione diamo dei nomi alle rette: chiamiamo P la retta parametrica e R la retta che dobbiamo studiare in questo punto dell'esercizio.

    Mettiamole in forma esplicita (y=...) in modo da determinare il coefficiente angolare.

    Esplicitiamo la generica retta del fascio

    (k-1)y=-(3+k)x - 3k

    y=-\frac{3+k}{k-1}x-\frac{3k}{k-1}

    il coefficiente angolare è il coefficiente del termine in x, quindi

    m_P=-\frac{3+k}{k-1}

    Facciamo la stessa cosa con la retta:

    6x-2y+9=0

    (lasciamo a sinistra la y e sommando e dividendo portiamo tutti gli altri termini a destra)

    y=\frac{6}{2}x+\frac{9}{2}

    quindi, essendo il coefficiente angolare della retta il coefficiente del termine in x si ha

    m_R=3.

    Abbiamo detto che due rette sono perpendicolari se i coefficienti angolari sono uno l'opposto del  reciproco dell'altro, cioè

    m_P=-\frac{1}{m_R}

    cioè

    -\frac{3+k}{k-1}=-\frac{1}{3}

    risolvendo l'equazione ottieni

    9+3k=k-1

    2k=-10

    k=-5

     

    4. Questo punto è esattamente come il punto 2. Basta sostituire all'interno dell'equazione del fascio di rette le coordinate del punto A al posto di x e y:

    (3+k)(-1)+(k-1)2+3k=0

    -3-k+2k-2+3k=0

    4k=5

    k=\frac{5}{4}

     

    5. Grazie al punto 3. sappiamo che il coefficiente angolare della retta con parametro è 

    m_P=-\frac{3+k}{k-2}

    quindi basta

    m_P=-2

    -\frac{3+k}{k-1}=-2

    togliamo i meno a entrambi i termini dell'equazione

    \frac{3+k}{k-1}=2

    moltiplichiamo tutto per (k-1)

    3+k=2k-2

    k=5.

     

    Ecco fatto. Per qualunque problema scrivi ancora!

    Alpha.

    Risposta di Alpha
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