Limite di una funzione fratta in due variabili
Ho diversi dubbi riguardo al calcolo di un limite fratto in due variabili, il seguente:
Allora, non voglio che risolviate tale limite, lo so già che non esiste. Vorrei però che qualcuno mi spiegasse quale è l'errore nel seguente ragionamento.
Provo a sostituire x e y con le coordinate polari, così ottengo il limite di una funzione ad una incognita con un parametro angolare θ. Tale limite varrà 0 quando cosθ ≠ 0. Invece quando cosθ = 0, ottengo una forma indeterminata del tipo 0/0.
Ciò vuol dire che se mi avvicino a (0;0) seguendo una curva che incide a π/2 rispetto all'asse delle ascisse, la forma polare non mi aiuta.
Allora studio tale limite, avvicinandomi a (0; 0) seguendo la curva y=x^(1/3). Ottengo che il limite è 0. Ma il problema sorge se mi avvicino lungo la curva y=x^(1/2). Ottengo un limite diverso da 0 (forse 1/5, ora non ricordo di preciso).
Tutti gli altri casi che ho provato, restituiscono un limite pari a 0. Mi chiedo, se c'è, dov'è l'errore, e, come sia possibile, che una funzione continua nell'intorno di (0; 0) possa assumere, sempre incidendo a π/2 rispetto all'asse delle ascisse, valori sempre più prossimi a due valori diversi, che dipendono dalla traiettoria che seguo per risolvere il limite.
Spero in risposte sensate.
Ciao Neumann, arrivo a risponderti...
Il punto è proprio che una funzione di due variabili, per essere continua in un punto, deve avere lo stesso limite avvicinandosi a quel punto indipendentemente dal cammino. A meno che tu non abbia sbagliato il calcolo del limite lungo la curva
il fatto di ottenere un limite diverso ti dice proprio che la funzione non è continua nel punto.
Incidere al punto con una direzione
e con una direzione è molto diverso, e se la funzione non è continua nel punto è normale che i limiti ottenuti siano distinti.[cosa significa "risposte sensate"? :)]
Namasté!
Senza dubbio, hai ragione, ma non riesco ad immaginare il comportamento della funzione. Ti faccio un esempio. Immagino tale funzione come una superficie di vetro. Suppongo di seguire con un dito sulla superficie, la direzione che mi interessa. So che tale superficie ha un buco in (0; 0). Non riesco però ad interpretare il fatto che seguendo una parabola o una cubica che incidono sempre a 90 gradi con l'asse delle ascisse, il mio dito si ferma nel primo caso a quota 1/5 e nel secondo a quota 0.
Il "domande sensate" è dovuto al fatto che sono passato prima per answers e non ho ottunuto buoni risultati.
Prova a ragionare così: ogni direzione segue una particolare linea di crescita o decrescita, un particolare comportamento della funzione. In due variabili il discorso, ahinoi, è ben più complicato che in una variabile perché devi perennemente tenere in considerazione del cambiamento di due coordinate, appunto, nel muoverti lungo una determinata direzione.
Forse ciò che trae in inganno è confondere il limite lungo una specifica direzione con il valore assunto dalla funzione nel punto considerato. Sono cose ben distinte, e completamente scorrelate per funzioni di due variabili (in realtà capita anche con funzioni di una variabile, ma in casi molto rari).
Più che il vetro, prova a immaginare con una superficie coperta di spine. A seconda di come ti nuovi, puoi pungerti di più o di meno. La direzione lungo cui calcoli il limite , e quindi il limite, ti dice come e quanto ti sei punto...
Se hai dubbi, non esitare a chiedere, sono qui!
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Aaaah, ecco perché il domande sensate...So che là ci sono persone in gamba a rispondere, e li rispettiamo molto perché fanno un "lavoro" molto simile al nostro, purtroppo non rispondono solo loro. Qui, e questa non è pubblicità comparativa, le risposte sono garantite, perché risponde solo lo Staff. Nel Forum tutti possono rispondere, invece.
Namasté!
Potresti per piacere chiarire la parte:
"Forse ciò che trae in inganno è confondere il limite lungo una specifica direzione con il valore assunto dalla funzione nel punto considerato. Sono cose ben distinte, e completamente scorrelate per funzioni di due variabili (in realtà capita anche con funzioni di una variabile, ma in casi molto rari)."
Non è per caso vero che se io mi avvicino a (0; 0) seguendo la traiettoria parabolica y=x^(1/2), i valori della funzione si avvicinano sempre più a 1/5?
Si, si avvicinano sempre di più a 1/5, che però non è la valutazione della funzione nel punto (0,0), bensì il valore del limite lungo quella direzione. Passando al limite ti avvicini cioè al valore del limite (e "tante grazie", penserai tu :)).
Il punto è che la presenza di due variabili piuttosto che una "aggiunge un grado di libertà" rappresentato dalla direzione. L'unica proprietà che abolisce questo grado di libertà è la continuità nel punto, in presenza della quale la dipendenza dalla direzione scompare: tutti i limiti sono infatti uguali!
Namasté!
Scusa, prometto che è l'ultima. Il fatto è che comprendo la storia del grado di libertà, ma mi è difficile comprendere geometricamente il fatto. Mi sembra come un compromesso per giustificare un risultato algebrico. Provo a spiegare meglio. Mi sembrerebbe più logico che seguendo traiettorie diverse, ma che incidono con la stessa direzione, il limite risultasse lo stesso. Ovvero, se per qualsiasi funzione definita in R^2 (magari escluso (0; 0)) cercassi di calcolare il limite in (0; 0) seguendo tutte le curve che vi incidono con lo stesso angolo (per esempio a 45 gradi utilizzerei x, tan(x), atan(x), sin(x), ln(1+x), ecc.) dovrei ottenere sempre lo stesso limite, indipendentemente dalla continuità della funzione in (0; 0).
Invece, troverei dei valori diversi, seguendo traiettorie che incidono ad angoli diversi. Ciò significherebbe l'inesistenza del limite.
"Scusa, prometto che è l'ultima"
Figurati, puoi fare quante domande vuoi!
Il punto è che l'angolo di incidenza viene realizzato, se ci pensi, da una retta. Dunque è improprio parlare di angolo di incidenza nel caso di direzioni non lineari che raggiungono il punto.
In una variabile hai una e una sola direzione per raggiungere il punto, mentre in due variabili non è più così. E non si tratta di una giustificazione: avendo direzioni diverse che raggiungono uno stesso punto, hai comportamenti diversi della funzione (a meno di non avere la continuità nel punto, nel qual caso cambia tutto!). Per farla breve: il punto, in sè e per se, conta poco, e gli angoli di incidenza riguardano in senso stretto solo le direzioni lineari.
Ti consiglio di leggere questa guida: limiti in due variabili.
Namasté!
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