Soluzioni
  • Ciao dav09 :)

    Sapendo che l'asse della parabola ha equazione x=2, ossia è parallelo all'asse y, la parabola avrà equazione della forma

    y=ax^2+bx+c, \mbox{ con } a\neq 0

    Ci servono quindi tre condizioni che ci permetteranno di trovare il valore dei parametri a, \ b \mbox{ e } c. Ricordando che l'equazione dell'asse di una parabola è data da

    x=-\frac{b}{2a}

    sapendo che, nel nostro caso, la sua equazione è x=2 abbiamo la prima condizione:

    -\frac{b}{2a}=2 \to b=-4a \to \mbox{ Prima condizione}

    Conosciamo inoltre l'equazione della direttrice che è y=0; dal momento che l'equazione che definisce la direttrice di una generica parabola è

    y=-\frac{1+\Delta}{4a}

    ricaviamo la seconda condizione

    -\frac{1+\Delta}{4a}=0 \to 1+\Delta=0 \to 1+b^2-4ac=0 \to \mbox{ Seconda condizione}

    La terza ed ultima condizione si ottiene imponendo il passaggio per il punto A(1,-1)

    -1=a+b+c \to a+b+c=-1 \to \mbox{ Terza condizione}

    Mettiamo ora a sistema le tre condizioni trovate

    \begin{cases}b=-4a \\ 1+b^2-4ac=0 \\ a+b+c=-1 \end{cases}

    Sostituiamo la prima relazione nelle altre due

    \begin{cases}b=-4a \\ 1+(-4a)^2-4ac=0 \\ a-4a+c=-1 \end{cases}

    \begin{cases}b=-4a \\ 1+16a^2-4ac=0 \\ -3a+c=-1 \end{cases}

    Dall'ultima relazione abbiamo c=3a-1 che sostituita nella seconda ci fornisce la seguente equazione di secondo grado nell'incognita a

    1+16a^2-4a(3a-1)=0 \to 4a^2+4a+1=0

    che ha due soluzioni reali e coincidenti:

    a_{1,2}=-\frac{1}{2}

    In conclusione

    b=-4a=2

    c=3a-1=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}

    e quindi, l'equazione della parabola cercata è

    y=-\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{5}{2}

    Risposta di Ifrit
 
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