Soluzioni
  • L'esercizio chiede di esprimere in forma algebrica il numero complesso

    z=\frac{i(i-\sqrt{3})^{6}}{i-1}

    Per fare ciò, dobbiamo prima di tutto calcolare la potenza del numero complesso che si trova a numeratore, cioè

    (i-\sqrt{3})^{6}

    Per agevolare i calcoli, passiamo dalla forma algebrica alla forma trigonometrica la base

    w=i-\sqrt{3}=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))

    dove \rho \ \mbox{e}\ \theta indicano rispettivamente il modulo e l'argomento di w.

    Possiamo calcolare il modulo mediante la definizione: il modulo di un numero complesso è la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e il quadrato della parte immaginaria, in simboli matematici:

    \rho=|w|=\sqrt{Re(w)^2+Im(w)^2}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2

    Per quanto concerne l'argomento, la questione è delicata. Per prima cosa dobbiamo scegliere l'intervallo di variazione di \theta, per convenzione infatti si presentano due possibili scelte [0,2\pi) \ \mbox{e}\ (-\pi,\pi].

    Lavoriamo sull'intervallo [0,2\pi) ed utilizziamo la relazione

    \\ \theta=Arg(w)=\arctan\left(\frac{Im(w)}{Re(w)}\right)+\pi=\arctan\left(-\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)+\pi= \\ \\ \\ =-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5\pi}{6}

    dove il +\pi va aggiunto perché la parte reale è negativa e \arctan(\cdot) denota la funzione arcotangente.

    Ora per calcolare w^{6} utilizziamo la formula di De Moivre:

    w^{6}=\rho^{6}(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^{6}=\rho^{6}(\cos(6\theta)+i\sin(6\theta))=

    grazie alla quale ricaviamo

    =64(\cos(5\pi)+i\sin(5\pi))=-64

    Possiamo allora riscrivere il numero iniziale come

    z=\frac{-64i}{i-1}=

    Per esprimerlo in forma algebrica, dobbiamo realizzare il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione per il coniugato di quest'ultimo, cioè per -i-1, dopodiché eseguiamo i calcoli che scaturiscono, tenendo conto della relazione i^2=-1 e sfruttando la regola sul prodotto tra una somma e una differenza di monomi

    =\frac{-64i(-i-1)}{(i-1)(-i-1)}=\frac{-64+64i}{1+1}=-32+32i

    Riassumendo: il numero complesso z espresso in forma algebrica è

    z=-32+32i

    da cui deduciamo che la sua parte reale e la sua parte immaginaria valgono rispettivamente

    Re(z)=-32 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ Im(z)=32

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi