Codominio di una funzione dipendente da un parametro

Avendo una funzione con un parametro come faccio a calcolare il codominio della funzione? Se ad esempio devo risolvere questo esercizio:

data la funzione

$f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 4k - 1}$

determinare il minimo valore intero del parametro k per cui essa ha come dominio R. In corrispondenza di tale valore di k determinare il codominio della funzione.

Come posso risolverlo, me lo spiegate?

Domanda di Francesca

Soluzioni

Andiamo con ordine, cominciamo dal dominio.
Il problema con il dominio della funzione è che il denominatore non può, e non deve, mai annullarsi. Quindi iniziamo col richiedere
$x^2+2x+4k-1\neq 0$
e calcoliamo le soluzioni di questa equazione di secondo grado:
$x_{1,2}\neq -1\pm\sqrt{2-4k}$
Osserviamo che se il discriminante è negativo il polinomio, cioè il denominatore, non può mai annullarsi (ed è l'unico caso affinché la funzione abbia dominio tutto $\mathbb{R}$ ). Richiediamo quindi
cioè
$k>\frac{1}{2}$ .
Il minimo valore intero di k per cui la funzione ha dominio tutto l'asse reale è dunque , in corrispondenza del quale otteniamo
$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+3}$
Ora attenzione: tu chiedi di determinare il codominio della funzione, mentre in realtà ti riferisci all'immagine. A volte i docenti con abuso di linguaggio confondono le nozioni di codominio e immagine, ma in realtà sono concetti distinti. Ti invito a leggere:
- codominio di una funzione;
- immagine di una funzione.
Per determinare l'immagine possiamo disegnarne il grafico oppure ragionare nel modo più veloce possibile (ma anche meno semplice, dato che si tratta di un'analisi qualitativa). Quale dei due modi preferisci?
Namasté!

Risposta di Omega
grazie a te! per il codominio direi di fare il grafico
Risposta di Francesca
Bene, allora vado spedito con lo studio della funzione. Se poi c'è qualche punto che non ti torna, non esitare a chiedere!
Dominio: e beh, tutto $\mathbb{R}$
Segno: la funzione è sempre positiva, infatti il denominatore è un polinomio con delta negativo ed assume solamente valori positivi
Limiti agli estremi del dominio:
$\lim_{x\to \pm\infty}{f(x)}=0^+$
(basta usare la regola dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi costante/infinito)
Derivata prima e monotonia:
La derivata prima della funzione è semplice da calcolare
$f'(x)=-\frac{2x+2}{(x^2+2x+3)^2}$
di cui dobbiamo studiare il segno per capire dove la funzione cresce e dove decresce. Risolvendo la disequazione fratta
$f'(x)\geq 0$
che si riduce a
$-(2x+2)\geq 0$
essendo il denominatore sempre positivo, troviamo che in la funzione ha un punto di massimo, che tra le altre cose è assoluto perché agli estremi del dominio la funzione tende a zero ed è continua su tutto $\mathbb{R}$ (quindi non c'è modo che vada all'infinito).
In conclusione, tralasciando lo studio della derivata seconda che non ci interessa proprio, dalle informazioni raccolte deduciamo che l'immagine della funzione è
$Im(f)=(0,f(-1)]=\left(0,\frac{1}{2}\right]$
dove $f(-1)=\frac{1}{2}$ è incluso e zero è escluso perché non viene mai raggiunto dalla funzione.
Namasté!
Risposta di Omega
grazie mille l'unico problema è che i limiti non li abbiamo ancora fatti
Risposta di Francesca
Ahiahiahi! Allora non hai visto nemmeno le derivate!...Fammi riflettere un attimino su come risolvere il problema nel modo più semplice possibile, ti va?
Risposta di Omega
certo! sempre se per te non è un problema
Risposta di Francesca
Idea: se sai disegnare la seguente parabola (il polinomio del denominatore rappresenta una parabola)
puoi vedere facilmente che ha immagine
$[2,+\infty)$
infatti è rivolta verso l'alto e ha vertice in
.
Ciò detto, ti basta osservare che la funzione
$y=\frac{1}{z}$
ha immagine $\left(0,\frac{1}{2}\right]$
Namasté!
Risposta di Omega
ok grazie la parabola la so fare!
Risposta di Francesca

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