Codominio di una funzione dipendente da un parametro

Andiamo con ordine, cominciamo dal dominio.

Il problema con il dominio della funzione è che il denominatore non può, e non deve, mai annullarsi. Quindi iniziamo col richiedere

e calcoliamo le soluzioni di questa equazione di secondo grado:

Osserviamo che se il discriminante è negativo il polinomio, cioè il denominatore, non può mai annullarsi (ed è l'unico caso affinché la funzione abbia dominio tutto ). Richiediamo quindi

cioè

.

Il minimo valore intero di k per cui la funzione ha dominio tutto l'asse reale è dunque , in corrispondenza del quale otteniamo

Ora attenzione: tu chiedi di determinare il codominio della funzione, mentre in realtà ti riferisci all'immagine. A volte i docenti con abuso di linguaggio confondono le nozioni di codominio e immagine, ma in realtà sono concetti distinti. Ti invito a leggere:

- codominio di una funzione;

- immagine di una funzione.

Per determinare l'immagine possiamo disegnarne il grafico oppure ragionare nel modo più veloce possibile (ma anche meno semplice, dato che si tratta di un'analisi qualitativa). Quale dei due modi preferisci?

Namasté!

Bene, allora vado spedito con lo studio della funzione. Se poi c'è qualche punto che non ti torna, non esitare a chiedere!

Dominio: e beh, tutto

Segno: la funzione è sempre positiva, infatti il denominatore è un polinomio con delta negativo ed assume solamente valori positivi

Limiti agli estremi del dominio:

(basta usare la regola dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi costante/infinito)

Derivata prima e monotonia:

La derivata prima della funzione è semplice da calcolare

di cui dobbiamo studiare il segno per capire dove la funzione cresce e dove decresce. Risolvendo la disequazione fratta

che si riduce a

essendo il denominatore sempre positivo, troviamo che in la funzione ha un punto di massimo, che tra le altre cose è assoluto perché agli estremi del dominio la funzione tende a zero ed è continua su tutto (quindi non c'è modo che vada all'infinito).

In conclusione, tralasciando lo studio della derivata seconda che non ci interessa proprio, dalle informazioni raccolte deduciamo che l'immagine della funzione è

dove è incluso e zero è escluso perché non viene mai raggiunto dalla funzione.

Namasté!

Ahiahiahi! Allora non hai visto nemmeno le derivate!...Fammi riflettere un attimino su come risolvere il problema nel modo più semplice possibile, ti va?