Soluzioni
  • Ciao Erika, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Però la serie è incomprensibile: ci provo lo stesso e ti chiedo conferma. È questa?

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}}}

    Risposta di Omega
  • si è quella!

    Risposta di Erika
  • :) In tal caso conviene riscrivere la serie nella forma

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{2}{2^{n-1}}}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^n}{2^{n-1}}}=

    ossia

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2^{n-2}}}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^n}{2^{n-1}}}

    La prima delle due serie è sicuramente convergente, è sufficiente riscriverla come

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2^{n-2}}}=2+1+\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2^{n}}}

    dopo aver scritto esplicitamente i primi due termini. La serie che ne risulta converge, per vederlo basta osservare che è una serie geometrica

    \sum_{n=1}^{+\infty}{q^{n}}

    con ragione q<1

    La seconda serie invece converge poiché converge assolutamente. Convergenza assoluta vuol dire che, data una serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}

    converge la serie dei moduli

    \sum_{n=1}^{+\infty}{|a_n|}

    e si dimostra che la convergenza assoluta di una serie implica la convergenza semplice (quella standard). Ciò detto, ti basta osservare che

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left|\frac{(-1)^n}{2^{n-1}}\right|}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2^{n-1}}}

    e ragionando come nel caso della prima serie, si vede che abbiamo convergenza. (Avremmo potuto usare il criterio di Leibniz in alternativa alla convergenza assoluta).

    Morale: la serie data converge!

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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