Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per trovare il sup dell'insieme considerato (che, attenzione, è un insieme di numeri reali) dobbiamo anzitutto esprimere gli elementi dell'insieme, e quindi risolvere l'equazione che li individua.

    zz^*-2iz=4-z^2

    Per risolvere l'equazione passiamo alla forma trigonometrica dei numeri complessi:

    z=\rho\sin{(\theta)}+i\rho\cos{(\theta)})

    e sostituiamo nell'equazione, trovando in particolare

    zz^*=\rho

    \rho-2i\rho(\cos{(\theta)+\sin{(\theta)}})=4-\rho^2\cos^{2}{(\theta)}+\rho^2\sin{(\theta)}-2i\rho^2\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}

    che possiamo riscrivere nella forma

    \rho-2i\rho(\cos{(\theta)+\sin{(\theta)}})=4-\rho^2\cos{(2\theta)}-i\rho^2\sin{2(\theta)}

    Ora non ci resta che passare alle equazioni relative alla parte reale e alla parte immaginaria:

    \rho=4-\rho^2\cos{(2\theta)}

    -2\rho(\cos{(\theta)}+\sin{(\theta)})=\rho^2{(\sin{(2\theta)})}

    Fin qui ci sei?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok e poi come procedo?

    Risposta di leoncinakiara
  • Provando a fare i calcoli, mi sono reso conto che vengono fuori dei conti molto complicati Un modo più veloce consiste nel riscrivere l'equazione come

    |z|=4+i2z-z^2

    per cui, sostituendo z=x+iy nella sua generica forma algebrica e lasciando il primo membro così com'è, per il momento

    |z|=4-x^2+i(2x-2xy)

    la parte immaginaria deve annullarsi perché il modulo di un numero complesso è un numero reale, dunque richiediamo che

    2x-2xy=0

    che fornisce le seguenti soluzioni

    x=0\mbox{ vel }y=1

    riscriviamo la restante parte dell'equazione, ora sostituendo il modulo di z con la relativa espressione algebrica

    \sqrt{x^2+y^2}=4-x^2

    qui dentro sostituiamo prima x=0 trovando y=\pm 2. Poi sostituiamo y=1 ed eleviamo entrambi i membri a quadrato e svolgendo i calcoli:

    x^4-9x^2+15=0

    sostituendo X=x^2 ci riconduciamo ad un'equazione di secondo grado:

    X^2-9X+15=0

    risolvendola, si trovano i valori X=\frac{1}{2}(9\pm\sqrt{21}) e quindi tornando a x^2=X

    x=\pm\sqrt{9-\sqrt{21}}\mbox{ }x=\pm\sqrt{9+\sqrt{21}}

    Ora non ti resta che calcolare i moduli dei numeri complessi così determinati e vedere qual'è il più grande per concludere l'esercizio.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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