Potenza 1000 di un numero complesso in forma algebrica

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Devo calcolare la forma algebrica della potenza di un numero complesso, non ho idea come fare anche perché la potenza del numero complesso ha un esponente altissimo (1000).

 

Esprimere la seguente potenza in forma algebrica

 

w = (3+i√(3))^(1000)

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Per trovare la forma algebrica del numero complesso

    w = (3+i√(3))^(1000)

    riscriviamo la base in forma trigonometrica: dobbiamo calcolare modulo e argomento del numero complesso z = 3+i√(3).

    Chiamando z = a+ib, dobbiamo ricorrere alle seguenti formule

    |z| = √(a^2+b^2) = √(3^2+(√(3))^2) = √(12) = 2√(3) ; Arg(z) = arctan((b)/(a)) = arctan((√(3))/(3)) = (π)/(6)

    Per quanto concerne l'argomento, osserviamo che il risultato è (π)/(6) perché la parte reale è positiva, in caso contrario avremmo dovuto aggiungere π.

    La base della potenza si esprime dunque in forma trigonometrica come

    z = 2√(3)(cos((π)/(6))+isin((π)/(6)))

    e grazie alla formule di De Moivre

    [|z|(cos(Arg(z))+isin(Arg(z)))]^(n) = |z|^n(cos(n Arg(z))+isin(n Arg(z)))

    otteniamo dunque che

    w = z^(1000) = [2√(3)(cos((π)/(6)))+isin((π)/(6))]^(1000) = (2√(3))^(1000)(cos((1000π)/(6))+isin((1000π)/(6)))

    Osserviamo che:

    - l'angolo (1000π)/(6) è trigonometricamente equivalente all'angolo (2)/(3)π;

    - il seno e il coseno dell'angolo (2)/(3)π valgono rispettivamente

    sin((2)/(3)π) = (√(3))/(2) e cos((2)/(3)π) = -(1)/(2)

    - usando le proprietà delle potenze

    (2√(3))^(1000) = 2^(1000)·3^(500);

    Possiamo concludere che il numero richiesto in forma algebrica è

    w = 2^(1000)·3^(500)(-(1)/(2)+i(√(3))/(2))

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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