Soluzioni
  • Per trovare la forma algebrica del numero complesso

    w=(3+i\sqrt{3})^{1000}

    riscriviamo la base in forma trigonometrica: dobbiamo calcolare modulo e argomento del numero complesso z=3+i\sqrt{3}.

    Chiamando z=a+ib, dobbiamo ricorrere alle seguenti formule

    \\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\ \\ \\ Arg(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\pi}{6}

    Per quanto concerne l'argomento, osserviamo che il risultato è \frac{\pi}{6} perché la parte reale è positiva, in caso contrario avremmo dovuto aggiungere \pi.

    La base della potenza si esprime dunque in forma trigonometrica come

    z=2\sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)

    e grazie alla formule di De Moivre

    [|z|\left(\cos\left(Arg(z)\right)+i\sin\left(Arg(z)\right)\right)]^{n}=|z|^n\left(\cos\left(n Arg(z)\right)+i\sin\left(n Arg(z)\right)\right)

    otteniamo dunque che

    \\ w=z^{1000}=\left[2\sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]^{1000}= \\ \\ \\ =(2\sqrt{3})^{1000}\left(\cos\left(\frac{1000\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{1000\pi}{6}\right)\right)

    Osserviamo che:

    - l'angolo \frac{1000\pi}{3} è trigonometricamente equivalente all'angolo \frac{2}{3}\pi;

    - il seno e il coseno dell'angolo \frac{2}{3}\pi valgono rispettivamente

    \sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-\frac{1}{2}

    - usando le proprietà delle potenze

    (2\sqrt{3})^{1000}=2^{1000}\cdot 3^{500};

    Possiamo concludere che il numero richiesto in forma algebrica è

    w=2^{1000}\cdot 3^{500}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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