Soluzioni
  • Ciao Mery, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Dei due insiemi

    X=[0,2]\cup\left\{\frac{1}{(n+1)}+2\mbox{ t.c. }n\in\mathbb{N}\right\}

    Y=[3,4]\cup\{n\in\mathbb{N}\mbox{ t.c. }n\geq 5\}

    L'affermazione falsa è la terza, infatti l'intersezione tra X e Y è vuota:

    X\cap Y=\emptyset

    basta osservare che

    max(X)=\frac{5}{2}<3=min(y)

    e quindi l'insieme derivato dello stesso è vuoto.

    Lezioni di Analisi infinitesimale trovi tutto quello che ti serve.

    Namasté!

     

     

     

    Risposta di Omega
  • avrei bisogno di una spiegazione dettagliata di tutti i punti,

    ma se già e tardi facciamo domani e poi X∩Ynon è =3?

    Risposta di mery
  • Ragazzi mi dato una mano con questo esercizio con una spiegazione dei vari punti, 

    Risposta di mery
  • [Fuori risposta: il problema, Mery, è che se viene data una controreplica al di fuori dell'orario noi non la vediamo...Wink...Adesso Alpha risolve, non ti preoccupare!]

    Risposta di Omega
  • Omega sei unicoWink 

    Risposta di mery
  • Iniziamo dal primo punto: due insiemi A e B si dicono separati se per ogni elemento a appartenente ad A e per ogni b in B risulta a≤b.

    Nel caso del tuo esercizio questa proprietà è verificata, infatti se non includiamo 0 nei numeri naturali il primo insieme ha come estremo superiore 5/2 ed è sempre più piccolo di ogni valore dell'insieme Y che invece ha come inf 3.

    Al contrario, se includiamo lo 0 nei naturali, allora il sup dell'insieme X è 3 coincidente con l'inf di Y, ma per la coppia (3,3) in X x Y vale che  a≤b cioè 3≤3.

     

    Dunque in ognuno dei due casi gli insiemi risultano separati.

     

    Per il secondo punto: un insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

     

    L'intervallo [0,2] è chiuso per definizione, quindi non ci resta che provare che i punti di accumulazione di

     

    \{\frac{1}{n+1}+2\colon n\in\mathbb{N}\}

     

    sono contenuti in

     

    [0,2]\cup\{\frac{1}{n+1}+2\colon n\in\mathbb{N}\}

     

    Questo è vero, infatti l'unico punto di accumulazione di quell'insieme è 2.

     

    A questo punto ti chiedo di definire D(X∩Y) e FY. Probabilmente Omega conosceva queste notazioni, ma vorrei essere sicuro..sono l'insieme derivato e la frontiera?

    Risposta di Alpha
  • FY è la frontiera, D(x∩Y)no sò di preciso, se D fa riferimento ai punti di accumulazione.

    Voi se sapete di più di me.

    Risposta di mery
  • Personalmente l'ho interpretato come l'insieme derivato D(Insieme), cioè l'insieme dei punti di accumulazione dell'insieme considerato Insieme

    Risposta di Omega
  • Si, forse hai ragione.

    L'INSIEME è formato da x∩y ?

    Risposta di mery
  • Esattamente. Quindi, se ci siamo sul fatto che l'intersezione dei due insiemi è vuota, abbiamo che

    X\cap Y=\emptyset

    e quindi l'insieme dei punti di accumulazione dell'insieme vuoto è

    D(\emptyset)=\emptyset

    e dunque la terza affermazione è falsa.

    Per quanto riguarda la verifica della quarta affermazione, è vera perché i punti di frontiera dell'insieme Y è dato da

    Y=\{3,4,5,6,7,8,9,...\}

    ed infine l'ultima affermazione è vera poichè l'insieme vuoto è chiuso (ed è anche aperto, ma questo non centra un fico secco Wink)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Per quanto riguarda x∩Y non è =3 ?

    Risposta di mery
  • Ok...l'insieme dei punti di frontiera è l'insieme dei punti che non fanno parte né dell'interno di un insieme né dell'esterno dell'insieme stesso. Dunque la frontiera di Y è

     

    \mathcal{F}(Y)=\{3,4,5,6,\ldots\}

     

    dunque è un insieme illimitato e infinito.

     

    L'intersezione tra X e Y è vuota se escludiamo 0 dai naturali, se decidiamo di includerlo si ha

     

    X\cap Y=\{3\}

     

    Infine un singoletto è chiuso!

     

    Posto che D indichi l'insieme derivato, quello deii punti di accumulazione, comunque sia l'intersezione tra X e Y è solo un singoletto, di certo non è un punto di accumulazione, l'insieme X∩Y ha solo lui come elemento!

    Risposta di Alpha
  • Quante belle risposte! Laughing Mery, hai visto che alla fine siamo arrivati entrambi al tuo servizio? Surprised

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • OK!!!!,questo ora è chiaro,

    ma ho un altro dubbio:nell'insieme Y dove dice n≥5 significa 5,6,7,.......come singoli punti,

    oppure [5,∞[, o sono entrambi la stessa cosa?

    Risposta di mery
  • La prima delle due, perché in

    \{n\in\mathbb{N}:n\geq 5\}

    è vero che devi prendere i numeri maggiori-uguali a 5, ma è anche vero che devi prenderli tra in naturali. Potrebbe chiarire il fattaccio la seguente notazione equivalente:

    \{n\in\mathbb{N}:n\geq 5\}=[5,\infty)\cap\mathbb{N}

    ossia

    \{5,6,7,8,9,...\}

    come singoli punti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok, tutto chiaro......

    GRAZIE...........

    Risposta di mery
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