Calcolare un integrale improprio fratto

Iniziamo con la classificazione dell'integrale

è un integrale improprio di prima specie, perché il dominio di integrazione è un intervallo illimitato. Procediamo con la definizione stessa di integrale improprio di prima specie:

Concentriamoci sul calcolo dell'integrale al variare del parametro , che dobbiamo supporre essere maggiore di 4 che dovrà tendere a

Fissato abbiamo a che fare con un integrale definito.

Osserviamo che è riconducibile ad un integrale fondamentale in forma generale, infatti il numeratore dell'integranda è quasi la derivata del denominatore, infatti

Al numeratore manca solo un per renderlo la derivata del denominatore: poco male, moltiplichiamo e dividiamo per così che l'integrale diventi

Ora l'integrale è in forma nota ed ha come risultato una funzione logaritmica a meno di costanti additive, e precisamente

A questo punto abbiamo praticamente finito

Notiamo ora che quando anche pertanto:

ossia l'integrale dato dalla traccia diverge positivamente.

Metodo alternativo: oltre al metodo appena esposto, possiamo risolvere l'integrale mediante il metodo dei fratti semplici, che consiste nell'esprimere l'integranda come somma di frazioni algebriche facili da integrare.

Come si procede? Per prima cosa si scompone in la differenza di quadrati

dopodiché a ciascun fattore della scomposizione associamo il relativo fratto semplice:

- a associamo ;

- a associamo .

Fatto ciò andiamo alla ricerca delle costanti per le quali sussista la seguente identità:

Portiamo a denominatore comune i membri

e semplifichiamoli, hanno svolto il loro compito ormai.

Al secondo membro eseguiamo i prodotti e raccogliamo secondo le potenze di

Interviene ora il principio di identità dei polinomi il quale ci permette di costruire il seguente sistema lineare

da cui otteniamo le due costanti

grazie alle quali possiamo esprimere l'integranda come segue

L'integrale diventa

Gli integrali sono di facile soluzione ed hanno come risultato delle funzioni logaritmiche

Come prima, quando , i logaritmi vanno a più infinito, quindi l'integrale diverge positivamente.

Osservazione: vi è completa equivalenza nella soluzione degli integrali definiti (quelli con estremo ), è sufficiente infatti applicare le proprietà dei logaritmi per passare da un risultato all'altro.