Soluzioni
  • Prima di fornire enunciato e dimostrazione del criterio di parallelismo tra rette è necessario ricordare i nomi delle coppie di angoli formati da due rette tagliate da una trasversale.

    Facendo riferimento all'immagine seguente:

    (a,a'), (b,b'), (c,c') e (d,d') si dicono angoli corrispondenti;

    (c,a') e (b,d') sono angoli alterni interni;

    (a,c') e (d,b') sono angoli alterni esterni;

    (c,d') e (b,a') si dicono angoli coniugati interni;

    (d,c') e (a,b') son detti angoli coniugati esterni.

     

    Coppie di angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale

    Rette parallele tagliate da una trasversale.

     

    Criterio di parallelismo di due rette

    Se due rette tagliate da una trasversale formano con essa:

    - due angoli alterni (interni o esterni) uguali, o

    - due angoli corrispondenti uguali, o

    - due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari,

    allora le due rette sono parallele.

    Quello appena enunciato è proprio il criterio di parallelismo tra rette, grazie al quale è possibile stabilire se due rette sono parallele verificando che specifiche coppie di angoli siano congruenti o supplementari.

    Dimostrazione del criterio di parallelismo

    Siano r,s due rette tagliate dalla trasversale t e siano

    A il punto di intersezione tra la retta r e la trasversale t,

    B il punto di intersezione tra la retta s e la trasversale t.

    Per ipotesi sappiamo che gli angoli alterni alterni \widehat{b},\widehat{d'} sono uguali e vogliamo dimostrare che le due rette r,s sono parallele.

    Procediamo con una dimostrazione per assurdo, ossia supponiamo che le rette r,s non siano parallele. Allora tali rette si incontreranno in un punto P.

     

    Dimostrazione criterio parallelismo

    Dimostrazione del criterio di parallelismo.

     

    Si è venuto così a formare un triangolo di vertici A,B,P in cui \widehat{b} è un angolo interno e \widehat{d'} è un angolo esterno ad esso non adiacente.

    Per ipotesi sappiamo che i due angoli \widehat{b},\widehat{d'} sono congruenti, ma ciò contraddice il primo teorema sull'angolo esterno, secondo il quale ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo interno ad esso non adiacente.

    Abbiamo così un assurdo; di conseguenza, non potendo essere incidenti, le due rette r,s saranno necessariamente rette parallele e ciò conclude la dimostrazione.

    Se come ipotesi si considera l'uguaglianza tra angoli alterni esterni o tra angoli corrispondenti, oppure si assume che due angoli coniugati (interni od esterni) siano supplementari, la dimostrazione è del tutto analoga a quella appena proposta. ;)

    ***

    È tutto! Per leggere svariati esempi di utilizzo del criterio di parallelismo: esercizi su rette parallele tagliate da una trasversale.

    Risposta di Galois
 
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