Criterio di parallelismo

Il criterio di parallelismo tra rette stabilisce che se due rette tagliate da una trasversale formano due angoli alterni (interni o esterni) uguali, oppure due angoli corrispondenti uguali, o ancora due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora le due rette sono parallele.

Definizioni per il criterio di parallelismo

Prima di fornire enunciato e dimostrazione del criterio di parallelismo tra rette è necessario ricordare i nomi delle coppie di angoli formati da due rette tagliate da una trasversale.

Facendo riferimento all'immagine seguente:

(a,a'), (b,b'), (c,c') e (d,d') si dicono angoli corrispondenti;

(c,a') e (b,d') sono angoli alterni interni;

(a,c') e (d,b') sono angoli alterni esterni;

(c,d') e (b,a') si dicono angoli coniugati interni;

(d,c') e (a,b') son detti angoli coniugati esterni.

Rette parallele tagliate da una trasversale.

Criterio di parallelismo di due rette

Se due rette tagliate da una trasversale formano con essa:

- due angoli alterni (interni o esterni) uguali, o

- due angoli corrispondenti uguali, o

- due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari,

allora le due rette sono parallele.

Quello appena enunciato è proprio il criterio di parallelismo tra rette, grazie al quale è possibile stabilire se due rette sono parallele verificando che specifiche coppie di angoli siano congruenti o supplementari.

Dimostrazione del criterio di parallelismo

Siano due rette tagliate dalla trasversale e siano

il punto di intersezione tra la retta e la trasversale ,

il punto di intersezione tra la retta e la trasversale .

Per ipotesi sappiamo che gli angoli alterni alterni sono uguali e vogliamo dimostrare che le due rette sono parallele.

Procediamo con una dimostrazione per assurdo, ossia supponiamo che le rette non siano parallele. Allora tali rette si incontreranno in un punto .

Dimostrazione del criterio di parallelismo.

Si è venuto così a formare un triangolo di vertici in cui è un angolo interno e è un angolo esterno ad esso non adiacente.

Per ipotesi sappiamo che i due angoli sono congruenti, ma ciò contraddice il primo teorema sull'angolo esterno, secondo il quale ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo interno ad esso non adiacente.

Abbiamo così un assurdo; di conseguenza, non potendo essere incidenti, le due rette saranno necessariamente rette parallele e ciò conclude la dimostrazione.

Se come ipotesi si considera l'uguaglianza tra angoli alterni esterni o tra angoli corrispondenti, oppure si assume che due angoli coniugati (interni od esterni) siano supplementari, la dimostrazione è del tutto analoga a quella appena proposta. ;)

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È tutto! Per leggere svariati esempi di utilizzo del criterio di parallelismo: esercizi su rette parallele tagliate da una trasversale.