Risolvere un sistema di equazioni letterali

Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema lineare parametrico, da risolvere con il metodo di sostituzione e con il metodo di Cramer. Non ho avuto difficoltà nel risolvere gli altri esercizi, però il parametro mi manda ai matti.

Usare il metodo di sostituzione e il metodo di Cramer per calcolare le soluzioni del seguente sistema lineare al variare del parametro

$\begin{cases}ax+y+1=a-x\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}$

Grazie mille.

Domanda di Gego xD

Soluzioni

Consideriamo il sistema lineare

$\begin{cases}ax+y+1=a-x\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}$

L'esercizio ci chiede di avvalerci di due metodi risolutivi per poter ricavare le soluzioni: il metodo di sostituzione e il metodo di Cramer.

Risoluzione con il metodo di sostituzione

Dalla prima equazione, esprimiamo in termini di : basta lasciare al primo membro e trasportare tutti gli altri termini al secondo membro, cambiando il loro segno.

$\begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}$

A questo punto bisogna sostituire a ogni occorrenza di nella seconda equazione

$\begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ x-a(a-x-ax-1)+(a-x-ax-1)=a-1\end{cases}$

Svolgiamo i prodotti nella seconda equazione, usando la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari termini

$\begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ x-a^2+ax+a^2x+a+a-x-ax-1=a-1\end{cases}$

Sommiamo i monomi simili e cancelliamo i termini opposti così che il sistema diventi:

$\begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ a^2x=a^2-a\end{cases}$

Occupiamoci per un momento della seconda relazione, ossia:

Essa è un'equazione parametrica di primo grado nell'incognita che è determinata (ammette cioè una sola soluzione) se e solo se il coefficiente di è diversa da zero.

Se $a^2\ne 0$ , ossia se $a\ne 0$ , siamo autorizzati a dividere i due membri per ricavando il valore di

$x=\frac{a^2-a}{a^2}$

Osservazione: possiamo semplificare la frazione algebrica al secondo membro a patto di scomporre il polinomio con la tecnica del raccoglimento totale.

$x=\frac{a(a-1)}{a^2}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{a-1}{a}$

Noto il valore di , possiamo determinare quello di rimpiazzando $x\ \mbox{con} \ \frac{a-1}{a}$ nella relazione

$\\ y=a-\frac{a-1}{a}-a\left(\frac{a-1}{a}\right)-1= \\ \\ \\ =a-\frac{a-1}{a}-a+1-1=\frac{1-a}{a}$

Se , vale a dire se , l'equazione

si traduce nell'identità , mentre

diventa , per cui il sistema ammette infinite soluzioni.

In conclusione:

- se $a\ne 0$ , il sistema è determinato e la sua soluzione è con:

$x=\frac{a-1}{a}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=\frac{1-a}{a}$

- se , il sistema è indeterminato ed è soddisfatto dalle coppie

$(x,y)=(x,-1-x) \ \ \ \mbox{con} \ x\in\mathbb{R}$

Metodo di Cramer

Prima di risolvere il sistema lineare

$\begin{cases}ax+y+1=a-x\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}$

con il metodo di Cramer occorre esprimerlo in forma normale, trasportando i termini con le incognite a sinistra dell'uguale e tutti quelli senza al secondo:

$\begin{cases}ax+x+y=a-1\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}$

dopodiché raccogliamo parzialmente secondo le lettere $x\ \mbox{e} \ y$

$\begin{cases}(a+1)x+y=a-1\\ \\ x+(1-a)y=a-1\end{cases}$

Il sistema è ora in forma normale.

A questo punto costruiamo tre tabelle (o matrici) e che indicheremo con $A, \ A_{x} \ \mbox{e} \ A_{y}$ .

è la matrice avente per prima colonna i coefficienti dell'incognita e per seconda i coefficienti dell'incognita

$A=\left[\begin{matrix}a+1&1\\ 1&1-a\end{matrix}\right]$

$A_{x}$ è la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna di con la colonna formata dai termini noti delle equazioni

$A_{x}=\left[\begin{matrix}a-1&1\\ a-1&1-a\end{matrix}\right]$

$A_{y}$ è invece la matrice che si ottiene sostituendo la seconda colonna di con la colonna formata dai termini noti

$A_{y}=\left[\begin{matrix}a+1&a-1\\ 1&a-1\end{matrix}\right]$

Calcoliamo i determinanti delle matrici: essi ci serviranno per calcolare i valori di $x\ \mbox{e} \ y$

Il determinante della matrice dei coefficienti è , infatti:

$\\ \mbox{D}=\mbox{det}(A)=\left|\begin{matrix}a+1&1\\ 1&1-a\end{matrix}\right|= \\ \\ \\ = (a+1)\cdot(1-a)-1\cdot 1=1-a^2-1=-a^2$

Il determinante della matrice $A_{x}$ è , infatti:

$\\ \mbox{D}_{x}=\mbox{det}(A_{x})=\left|\begin{matrix}a+1&a-1\\ 1&a-1\end{matrix}\right|= \\ \\ \\ = (a-1)(1-a)-1\cdot (a-1)=a-a^2-1+a-a+1=a-a^2$

Infine, il determinante della matrice $A_{y}$ è , infatti:

$\\ \mbox{D}_{y}=\mbox{det}(A_{y})=\left|\begin{matrix}a+1&a-1\\ 1&a-1\end{matrix}\right|= \\ \\ \\ =(a+1)(a-1)-(a-1)\cdot 1=a^2-a$

Prima di continuare, è opportuno effettuare una breve parentesi teorica. Il metodo di Cramer garantisce la determinatezza del sistema nel momento in cui il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo

$\mbox{D}\ne 0 \ \implies \ \mbox{Sistema determinato}$

ed è soddisfatto dalla coppia dove:

$x=\frac{\mbox{D}_{x}}{\mbox{D}} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=\frac{\mbox{D}_{y}}{\mbox{D}}$

Se, invece, il determinante $\mbox{D}$ della matrice dei coefficienti è zero, il sistema è:

- indeterminato se $\mbox{D}=\mbox{D}_{x}=\mbox{D}_{y}$ ;

- impossibile se $\mbox{D}\ne \mbox{D}_{x} \ \mbox{oppure} \ \mbox{D}\ne \mbox{D}_{y}$ .

Nel nostro caso $\mbox{D}=-a^2$ ed è non nullo se e solo se $a\ne 0$ : sotto questo vincolo, il sistema è determinato con soluzione dove:

$\\ x=\frac{\mbox{D}_{x}}{\mbox{D}}=\frac{a-a^2}{-a^2}=\frac{a-1}{a} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_{y}}{\mbox{D}}=\frac{a^2-a}{-a^2}=\frac{1-a}{a}$

Se , ossia se allora i tre determinanti sono tutti e tre uguali a zero (quindi coincidono tra loro) e di conseguenza il sistema è indeterminato.

Abbiamo finito.

Risposta di Ifrit