Soluzioni
  • Consideriamo il sistema lineare

    \begin{cases}ax+y+1=a-x\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}

    L'esercizio ci chiede di avvalerci di due metodi risolutivi per poter ricavare le soluzioni: il metodo di sostituzione e il metodo di Cramer.

    Risoluzione con il metodo di sostituzione

    Dalla prima equazione, esprimiamo y in termini di x: basta lasciare y al primo membro e trasportare tutti gli altri termini al secondo membro, cambiando il loro segno.

    \begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}

    A questo punto bisogna sostituire a-x-ax-1 a ogni occorrenza di y nella seconda equazione

    \begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ x-a(a-x-ax-1)+(a-x-ax-1)=a-1\end{cases}

    Svolgiamo i prodotti nella seconda equazione, usando la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari termini

    \begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ x-a^2+ax+a^2x+a+a-x-ax-1=a-1\end{cases}

    Sommiamo i monomi simili e cancelliamo i termini opposti così che il sistema diventi:

    \begin{cases}y=a-x-ax-1\\ \\ a^2x=a^2-a\end{cases}

    Occupiamoci per un momento della seconda relazione, ossia:

    a^2x=a^2-a

    Essa è un'equazione parametrica di primo grado nell'incognita x che è determinata (ammette cioè una sola soluzione) se e solo se il coefficiente di x è diversa da zero.

    Se a^2\ne 0, ossia se a\ne 0, siamo autorizzati a dividere i due membri per a^2 ricavando il valore di x

    x=\frac{a^2-a}{a^2}

    Osservazione: possiamo semplificare la frazione algebrica al secondo membro a patto di scomporre il polinomio a^2-a con la tecnica del raccoglimento totale.

    x=\frac{a(a-1)}{a^2}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{a-1}{a}

    Noto il valore di x, possiamo determinare quello di y rimpiazzando x\ \mbox{con} \ \frac{a-1}{a} nella relazione y=a-x-ax-1

    \\ y=a-\frac{a-1}{a}-a\left(\frac{a-1}{a}\right)-1= \\ \\ \\ =a-\frac{a-1}{a}-a+1-1=\frac{1-a}{a}

    Se a^2=0, vale a dire se a=0, l'equazione

    a^2x=a^2-a

    si traduce nell'identità 0=0, mentre

    y=a-x-ax-1

    diventa y=-x-1, per cui il sistema ammette infinite soluzioni.

    In conclusione:

    - se a\ne 0, il sistema è determinato e la sua soluzione è (x,y) con:

    x=\frac{a-1}{a}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=\frac{1-a}{a}

    - se a=0, il sistema è indeterminato ed è soddisfatto dalle coppie (x,y)

    (x,y)=(x,-1-x) \ \ \ \mbox{con} \ x\in\mathbb{R}

     

    Metodo di Cramer

     

    Prima di risolvere il sistema lineare

    \begin{cases}ax+y+1=a-x\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}

    con il metodo di Cramer occorre esprimerlo in forma normale, trasportando i termini con le incognite a sinistra dell'uguale e tutti quelli senza al secondo:

    \begin{cases}ax+x+y=a-1\\ \\ x-ay+y=a-1\end{cases}

    dopodiché raccogliamo parzialmente secondo le lettere x\ \mbox{e} \ y

    \begin{cases}(a+1)x+y=a-1\\ \\ x+(1-a)y=a-1\end{cases}

    Il sistema è ora in forma normale.

    A questo punto costruiamo tre tabelle (o matrici) e che indicheremo con A, \ A_{x} \ \mbox{e} \ A_{y}.

    A è la matrice avente per prima colonna i coefficienti dell'incognita x e per seconda i coefficienti dell'incognita y

    A=\left[\begin{matrix}a+1&1\\ 1&1-a\end{matrix}\right]

    A_{x} è la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna di A con la colonna formata dai termini noti delle equazioni

    A_{x}=\left[\begin{matrix}a-1&1\\ a-1&1-a\end{matrix}\right]

    A_{y} è invece la matrice che si ottiene sostituendo la seconda colonna di A con la colonna formata dai termini noti

    A_{y}=\left[\begin{matrix}a+1&a-1\\ 1&a-1\end{matrix}\right]

    Calcoliamo i determinanti delle matrici: essi ci serviranno per calcolare i valori di x\ \mbox{e}  \ y

    Il determinante della matrice dei coefficienti è a^2, infatti:

    \\ \mbox{D}=\mbox{det}(A)=\left|\begin{matrix}a+1&1\\ 1&1-a\end{matrix}\right|= \\ \\ \\ = (a+1)\cdot(1-a)-1\cdot 1=1-a^2-1=-a^2

    Il determinante della matrice A_{x} è a-a^2, infatti:

    \\ \mbox{D}_{x}=\mbox{det}(A_{x})=\left|\begin{matrix}a+1&a-1\\ 1&a-1\end{matrix}\right|= \\ \\ \\ = (a-1)(1-a)-1\cdot (a-1)=a-a^2-1+a-a+1=a-a^2

    Infine, il determinante della matrice A_{y} è a^2-a, infatti:

    \\ \mbox{D}_{y}=\mbox{det}(A_{y})=\left|\begin{matrix}a+1&a-1\\ 1&a-1\end{matrix}\right|= \\ \\ \\ =(a+1)(a-1)-(a-1)\cdot 1=a^2-a

    Prima di continuare, è opportuno effettuare una breve parentesi teorica. Il metodo di Cramer garantisce la determinatezza del sistema nel momento in cui il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo

    \mbox{D}\ne 0 \ \implies \ \mbox{Sistema determinato}

    ed è soddisfatto dalla coppia (x,y) dove:

    x=\frac{\mbox{D}_{x}}{\mbox{D}} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=\frac{\mbox{D}_{y}}{\mbox{D}}

    Se, invece, il determinante \mbox{D} della matrice dei coefficienti è zero, il sistema è:

    - indeterminato se \mbox{D}=\mbox{D}_{x}=\mbox{D}_{y};

    - impossibile se \mbox{D}\ne \mbox{D}_{x} \ \mbox{oppure} \ \mbox{D}\ne \mbox{D}_{y}.

    Nel nostro caso \mbox{D}=-a^2 ed è non nullo se e solo se a\ne 0: sotto questo vincolo, il sistema è determinato con soluzione (x,y) dove:

    \\ x=\frac{\mbox{D}_{x}}{\mbox{D}}=\frac{a-a^2}{-a^2}=\frac{a-1}{a} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_{y}}{\mbox{D}}=\frac{a^2-a}{-a^2}=\frac{1-a}{a}

    Se -a^2=0, ossia se a=0 allora i tre determinanti sono tutti e tre uguali a zero (quindi coincidono tra loro) e di conseguenza il sistema è indeterminato.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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