Soluzioni
  • Consideriamo il sistema lineare

    ax+y+1 = a-x ; x-ay+y = a-1

    L'esercizio ci chiede di avvalerci di due metodi risolutivi per poter ricavare le soluzioni: il metodo di sostituzione e il metodo di Cramer.

    Risoluzione con il metodo di sostituzione

    Dalla prima equazione, esprimiamo y in termini di x: basta lasciare y al primo membro e trasportare tutti gli altri termini al secondo membro, cambiando il loro segno.

    y = a-x-ax-1 ; x-ay+y = a-1

    A questo punto bisogna sostituire a-x-ax-1 a ogni occorrenza di y nella seconda equazione

    y = a-x-ax-1 ; x-a(a-x-ax-1)+(a-x-ax-1) = a-1

    Svolgiamo i prodotti nella seconda equazione, usando la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari termini

    y = a-x-ax-1 ; x-a^2+ax+a^2x+a+a-x-ax-1 = a-1

    Sommiamo i monomi simili e cancelliamo i termini opposti così che il sistema diventi:

    y = a-x-ax-1 ; a^2x = a^2-a

    Occupiamoci per un momento della seconda relazione, ossia:

    a^2x = a^2-a

    Essa è un'equazione parametrica di primo grado nell'incognita x che è determinata (ammette cioè una sola soluzione) se e solo se il coefficiente di x è diversa da zero.

    Se a^2 ne 0, ossia se a ne 0, siamo autorizzati a dividere i due membri per a^2 ricavando il valore di x

    x = (a^2-a)/(a^2)

    Osservazione: possiamo semplificare la frazione algebrica al secondo membro a patto di scomporre il polinomio a^2-a con la tecnica del raccoglimento totale.

    x = (a(a-1))/(a^2) → x = (a-1)/(a)

    Noto il valore di x, possiamo determinare quello di y rimpiazzando x con (a-1)/(a) nella relazione y = a-x-ax-1

     y = a-(a-1)/(a)-a((a-1)/(a))-1 = a-(a-1)/(a)-a+1-1 = (1-a)/(a)

    Se a^2 = 0, vale a dire se a = 0, l'equazione

    a^2x = a^2-a

    si traduce nell'identità 0 = 0, mentre

    y = a-x-ax-1

    diventa y = -x-1, per cui il sistema ammette infinite soluzioni.

    In conclusione:

    - se a ne 0, il sistema è determinato e la sua soluzione è (x,y) con:

    x = (a-1)/(a) e y = (1-a)/(a)

    - se a = 0, il sistema è indeterminato ed è soddisfatto dalle coppie (x,y)

    (x,y) = (x,-1-x) con x∈R

     

    Metodo di Cramer

     

    Prima di risolvere il sistema lineare

    ax+y+1 = a-x ; x-ay+y = a-1

    con il metodo di Cramer occorre esprimerlo in forma normale, trasportando i termini con le incognite a sinistra dell'uguale e tutti quelli senza al secondo:

    ax+x+y = a-1 ; x-ay+y = a-1

    dopodiché raccogliamo parzialmente secondo le lettere x e y

    (a+1)x+y = a-1 ; x+(1-a)y = a-1

    Il sistema è ora in forma normale.

    A questo punto costruiamo tre tabelle (o matrici) e che indicheremo con A, A_(x) e A_(y).

    A è la matrice avente per prima colonna i coefficienti dell'incognita x e per seconda i coefficienti dell'incognita y

    A = [a+1 1 ; 1 1-a]

    A_(x) è la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna di A con la colonna formata dai termini noti delle equazioni

    A_(x) = [a-1 1 ; a-1 1-a]

    A_(y) è invece la matrice che si ottiene sostituendo la seconda colonna di A con la colonna formata dai termini noti

    A_(y) = [a+1 a-1 ; 1 a-1]

    Calcoliamo i determinanti delle matrici: essi ci serviranno per calcolare i valori di x e y

    Il determinante della matrice dei coefficienti è a^2, infatti:

     D = det(A) = |a+1 1 ; 1 1-a| = (a+1)·(1-a)-1·1 = 1-a^2-1 = -a^2

    Il determinante della matrice A_(x) è a-a^2, infatti:

     D_(x) = det(A_(x)) = |a+1 a-1 ; 1 a-1| = (a-1)(1-a)-1·(a-1) = a-a^2-1+a-a+1 = a-a^2

    Infine, il determinante della matrice A_(y) è a^2-a, infatti:

     D_(y) = det(A_(y)) = |a+1 a-1 ; 1 a-1| = (a+1)(a-1)-(a-1)·1 = a^2-a

    Prima di continuare, è opportuno effettuare una breve parentesi teorica. Il metodo di Cramer garantisce la determinatezza del sistema nel momento in cui il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo

    D ne 0 ⇒ Sistema determinato

    ed è soddisfatto dalla coppia (x,y) dove:

    x = (D_(x))/(D) e y = (D_(y))/(D)

    Se, invece, il determinante D della matrice dei coefficienti è zero, il sistema è:

    - indeterminato se D = D_(x) = D_(y);

    - impossibile se D ne D_(x) oppure D ne D_(y).

    Nel nostro caso D = -a^2 ed è non nullo se e solo se a ne 0: sotto questo vincolo, il sistema è determinato con soluzione (x,y) dove:

     x = (D_(x))/(D) = (a-a^2)/(-a^2) = (a-1)/(a) ; e ; y = (D_(y))/(D) = (a^2-a)/(-a^2) = (1-a)/(a)

    Se -a^2 = 0, ossia se a = 0 allora i tre determinanti sono tutti e tre uguali a zero (quindi coincidono tra loro) e di conseguenza il sistema è indeterminato.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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