Risolvere un sistema di equazioni letterali

Buongiorno, mi aiutate con questo sistema di equazioni letterali che devo risolvere per sostituzione e con il metodo di Cramer, che non riesco a capire come risolverlo?

ax+y+1=a-x

x-ay+y=a-1

Grazie in anticipo per la risposta! :D

In Superiori - Algebra - Domanda di Gego xD

Soluzioni

Ciao Gego xD, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Vediamo un po' come risolvere questo sistema dipendente dal parametro : procediamo per sostituzione

Dalla prima equazione ci ricaviamo la

Ora possiamo sostituirne l'espressione nella seconda equazione

Non ci resta che fare i calcoli e ricavarci la , che dipenderà naturalmente dal parametro

Svolgiamo i calcoli

e dividiamo tutto per , purché però sia diverso da zero. Quindi richiediamo:

$a\neq 0$

e troviamo

$x=\frac{a-1}{a}$

Sostituendo nell'altra equazione, troviamo il valore di dipendente da

$y=a-\frac{a-1}{a}-a\frac{a-1}{a}-1$

ossia, con un paio di calcoletti

$y=-\frac{a-1}{a}$

E abbiamo finito. Forse, perché ci manca da vedere nel sistema cosa succede se : riscrivendo il sistema

Troviamo, con semplici calcoli, che il sistema è indeterminato (infatti le due equazioni coincidono, quindi abbiamo un'equazione per due incognite).

Namasté!

Risposta di Omega
Wooow, grazie mille! Veloce e completo ;) ma se non ti chiedo troppo, cara Omega, potresti risolvermelo con il metodo di Cramer?

Risposta di Gego xD
Certo che posso, un attimo di pazienza e arrivo.:)

Risposta di Omega
Per risolvere il problema con la regola di Cramer (dei metodi di risoluzione dei sistemi lineari ne parliamo nella lezione del link, in fondo) dobbiamo scrivere il sistema in forma di matrice. Prima riordiniamo le variabili:

scrivendo la matrice dei coefficienti, sia essa

$A=\left[\begin{matrix}a+1 & 1 \\ 1 & 1-a \end{matrix}\right]$

per trovare la soluzione dobbiamo sostituire alla prima colonna il vettore dei termini noti

$A_x=\left[\begin{matrix}a-1 & 1 \\ a-1 & 1-a \end{matrix}\right]$

e calcolare

$x=\frac{det(A_x)}{det(A)}$

mentre per trovare la soluzione dobbiamo sostituire alla seconda colonna il vettore dei termini noti

$A_y=\left[\begin{matrix}a+1 & a-1 \\ 1 & a-1 \end{matrix}\right]$

e calcolare

$y=\frac{det(A_y)}{det(A)}$

In entrambi i casi devi escludere il valore , e risolvere a parte il corrispondente sistema.

Il determinante di una matrice 2x2 si calcola come

$M=\left[\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}\right]$

Namasté!

Risposta di Omega
Magnifiiiiiiicoooo! :DDD thanks e buon lavoro ;)

Risposta di Gego xD