Consideriamo il sistema lineare
L'esercizio ci chiede di avvalerci di due metodi risolutivi per poter ricavare le soluzioni: il metodo di sostituzione e il metodo di Cramer.
Risoluzione con il metodo di sostituzione
Dalla prima equazione, esprimiamo
in termini di
: basta lasciare
al primo membro e trasportare tutti gli altri termini al secondo membro, cambiando il loro segno.
A questo punto bisogna sostituire
a ogni occorrenza di
nella seconda equazione
Svolgiamo i prodotti nella seconda equazione, usando la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari termini
Sommiamo i monomi simili e cancelliamo i termini opposti così che il sistema diventi:
Occupiamoci per un momento della seconda relazione, ossia:
Essa è un'equazione parametrica di primo grado nell'incognita
che è determinata (ammette cioè una sola soluzione) se e solo se il coefficiente di
è diversa da zero.
Se
, ossia se
, siamo autorizzati a dividere i due membri per
ricavando il valore di
Osservazione: possiamo semplificare la frazione algebrica al secondo membro a patto di scomporre il polinomio
con la tecnica del raccoglimento totale.
Noto il valore di
, possiamo determinare quello di
rimpiazzando
nella relazione
Se
, vale a dire se
, l'equazione
si traduce nell'identità
, mentre
diventa
, per cui il sistema ammette infinite soluzioni.
In conclusione:
- se
, il sistema è determinato e la sua soluzione è
con:
- se
, il sistema è indeterminato ed è soddisfatto dalle coppie
Metodo di Cramer
Prima di risolvere il sistema lineare
con il metodo di Cramer occorre esprimerlo in forma normale, trasportando i termini con le incognite a sinistra dell'uguale e tutti quelli senza al secondo:
dopodiché raccogliamo parzialmente secondo le lettere
Il sistema è ora in forma normale.
A questo punto costruiamo tre tabelle (o matrici) e che indicheremo con
.
è la matrice avente per prima colonna i coefficienti dell'incognita
e per seconda i coefficienti dell'incognita
è la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna di
con la colonna formata dai termini noti delle equazioni
è invece la matrice che si ottiene sostituendo la seconda colonna di
con la colonna formata dai termini noti
Calcoliamo i determinanti delle matrici: essi ci serviranno per calcolare i valori di
Il determinante della matrice dei coefficienti è
, infatti:
Il determinante della matrice
è
, infatti:
Infine, il determinante della matrice
è
, infatti:
Prima di continuare, è opportuno effettuare una breve parentesi teorica. Il metodo di Cramer garantisce la determinatezza del sistema nel momento in cui il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo
ed è soddisfatto dalla coppia
dove:
Se, invece, il determinante
della matrice dei coefficienti è zero, il sistema è:
- indeterminato se
;
- impossibile se
.
Nel nostro caso
ed è non nullo se e solo se
: sotto questo vincolo, il sistema è determinato con soluzione
dove:
Se
, ossia se
allora i tre determinanti sono tutti e tre uguali a zero (quindi coincidono tra loro) e di conseguenza il sistema è indeterminato.
Abbiamo finito.
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