Soluzioni
  • Ciao Mery, grazie per aver riaperto la domanda. Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • [stiamo effettuando interventi tecnici, non mi sono scordato di te! Abbi solo un attimo di pazienza...]

    Risposta di Omega
  • Ecco lo svolgimento, chiedo scusa per il ritardo della risposta:

     

    - Non esiste x ∈ R tale che f′(x) = −1


    Falso. La funzione f(x) può benissimo decrescere con pendenza -1 in un qualche punto dell'asse reale.


    - f ha sempre un punto critico


    Non necessariamente. Falso.

     

    - Se f′(x) = −1 per ogni x ∈ ]1, 3[, allora ∫13 f(x)dx = 0


    Vero, perché la funzione in tal caso sarebbe sull'intervallo considerato (1,3) una retta, in particolare la retta di equazione

     

    y=-x+2

     

    che ha integrale nullo sull'intervallo considerato.

     

    - Se f′(x) > 0 per ogni x ∈ ]3,+∞[, allora esiste x0 ∈ ]3,+∞[ tale che f(x0) = 0


    Falso, potrebbe avere un asintoto orizzontale corrispondente ad un'ordinata negativa.

     

    - f′ può avere dei punti di discontinuità


    Falso, la derivata prima deve essere continua perché la derivata seconda esiste su tutto \mathbb{R}

     

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • potresti spiegarmi più nel dettaglio il punto: 2 e 4

    Risposta di mery
  • Ora te li racconto mery, il tempo di leggere!

    Risposta di Alpha
  • Per il punto 2 basta fornire un controesempio, cioè troviamo una funzione che soddisfi le ipotesi del tuo esercizio, ma che non abbia punti critici. Prima di tutto diamo la definizione di punto critico:

     

    Definizione [punto critico]: sia f una funzione definita in ACR (un sottoinsieme A di R), a valori in R, derivabile. Un punto critico di f è un punto x appartenente al dominio della funzione, cioè A, tale che la derivata di f sia nulla.

     

    Ora La nostra funzione deve essere tale che f(1)=1 e f(-1)=3. Dunque la funzione passa per i punti di coordinate (x,f(x))={(1,1), (-1,3)}. Una funzione che soddisfa queste ipotesi è la retta passante per quei due punti, cioè

     

    f(x)=-x+2

     

    La derivata di tale funzione è

     

    f^{\prime}(x)=-1

     

    Quindi la derivata è la funzione che vale costantemente -1 per ogni x in R. Capisci bene che tale funzione non può valere 0 in alcun punto, vale sempre -1! Quindi la funzione f non ha punti critici. Dunque abbiamo trovato un controesempio, questo ci basta per dire che non tutte le funzioni scelte secondo le ipotesi dell'esercizio hanno un punto critico, dunque l'affermazione: le funzioni f così definite hanno sempre un punto critico, cioè quella del tuo esercizio, è falsa.

     

    Passiamo al punto 4:

     

    L'affermazione di Omega è assolutamente corretta. La derivata seconda di una funzione è definita in tutto R, se e soltanto se la derivata prima è continua.

    Dunque è impossibile che la derivata prima della funzione abbia dei punti di discontinuità, altrimenti la derivata seconda non potrebbe essere definita ovunque.

     

    Per capire questa affermazione dobbiamo ricordare il teorema di continuità:

     

    Teorema [continuità]: Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 , allora è anche continua in quel punto.

     

    Applichiamo questo teorema alla derivata prima, del resto anche f '(x) è una funzione, giusto?

    Dunque vale la seguente affermazione

     

    Sia f(x) una funzione e f '(x) la sua derivata prima. Se possiamo derivare f '(x), in un punto x0, cioè calcolare f ''(x) in x0 , allora f ' è continua in x0

    In sostanza non abbiamo fatto altro che applicare il teorema di continuità alla derivata prima della funzione.

    Quindi se f ''(x) è definita su tutto R, allora la derivata prima deve essere continua ovunque.

    Risposta di Alpha
  • grazie Alpha per la spiegazione,  utile anche la spiegazione sui punti di discontinuità,ma ho dei dubbi sul punto 4 che pone la f'>0.......

    Risposta di mery
  • ahahahah....scusa! Avevo contato male! ora lo guardo!!

    Risposta di Alpha
  • Allora...pensa a una funzione che passi per il punto (3,-1) e che cresca costantemente, ma che abbia proprio l'asse delle x come asintoto orizzontale, cioè una funzione f(x) che tenda a 0- quando x tende a +∞, allora tale funzione passerebbe per il punto richiesto, sarebbe sempre crescente, quindi avrebbe derivata prima strettamente positiva, ma non raggiungerebbe mai lo 0. Ad esempio puoi considerare la seguente funzione:

     

    f(x)=-\frac{1}{e^{x-3}}

     

    Tale funzione passa per il punto (3,-1), infatti

     

    f(3)=-\frac{1}{e^{3-3}}=-\frac{1}{1}=-1

     

    La sua derivata è

     

    f^{\prime}(x)=e^{3-x}


    La derivata è un esponenziale, quindi è sempre positiva.

    Se facciamo il limite per x tendente a +∞ otteniamo:

     

    \lim_{x\to +\infty}-\frac{1}{e^{x-3}}=0^{-}

     

    Quindi la funzione tende a 0 all'infinito, ma non lo raggiunge mai. Quindi, ancora una volta abbiamo trovato un controesempio efficace, dunque l'affermazione è falsa!

    Risposta di Alpha
  • Grazie,come al solito siete molto chiari.

    Risposta di mery
 
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