Studio di funzione razionale fratta, esercizio

Ho grosse difficoltà nello studio di una funzione razionale fratta: devo effettuare lo studio completo dal domino fino alla derivata seconda

$f(x)=-\frac{x^4}{-x^3+2}$

Devo indicarne campo d'esistenza, segno, limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. Mi viene chiesto inoltre di determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di massimo o di minimo relativi e infine gli intervalli di concavità e convessità.

In Uni - Analisi - Domanda di scibettas

Soluzioni

Di come si effettua lo studio di funzione ne parliamo nella guida del link. Procediamo per passi:

$f(x)=-\frac{x^4}{-x^3+2}$

Dominio (campo di esistenza)

Proprio perchè siamo in presenza di una funzione razionale dobbiamo solamente preoccuparci che il denominatore non si annulli, quindi richiediamo

$-x^3+2\neq 0\iff -x^3\ne -2\iff x^3\ne 2$

che ha soluzione unica soluzione

$x\neq \sqrt[3]{2}$

quindi il dominio è $(-\infty,\sqrt[3]{2})\cup(\sqrt[3]{2},+\infty)$ .

Segno della funzione

Basta risolvere la disequazione $f(x)\geq 0$ :

$-\frac{x^4}{-x^3+2}\geq 0$

che è una disequazione fratta. Studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore per poi confrontarli. Il numeratore è non negativo per ogni , e risolvendo la semplice disequazione di grado superiore al secondo per il segno del denominatore troviamo che la soluzione è

$x>\sqrt[3]{2}$

intervallo in cui la funzione è positiva, altrove è negativa.

Intersezioni con gli assi

Intersezioni con l'asse delle x: basta risolvere l'equazione , ossia

$-\frac{x^4}{-x^3+2}=0$

che ha soluzione . Il punto di intersezione con l'asse delle ascisse ha coordinate

Intersezione con l'asse delle y: basta valutare la funzione in , da cui si ottiene , e dedurre che il punto di intersezione con l'asse delle ordinate è .

Limiti agli estremi del dominio

Calcoliamo il limite per $x\to -\infty$

$\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim_{x\to -\infty}-\frac{x^4}{-x^3+2}=$

Raccogliamo totalmente a denominatore, dopodiché semplifichiamolo con

$\\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x^4}{x^3\left(-1+\frac{2}{x^3}\right)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{-1+\frac{2}{x^3}}=+\infty$

Poiché il limite per $x\to +\infty$ esiste ma non è finito, siamo certi che la funzione non ha alcun asintoto orizzontale.

Potrebbe esserci un asintoto obliquo, la cui equazione si presenta nella forma dove indica il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine.

Impostiamo il limite che definisce : se risulta finito e diverso da zero allora continuiamo con l'analisi, altrimenti possiamo asserire che non vi è alcun asintoto obliquo sinistro.

$\\ m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}= \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{-\frac{x^4}{-x^3+2}}{x}=$

Scriviamo in forma normale la frazione di frazioni e semplifichiamo $x\mbox{ con }x^4$

$\\ =\lim_{x\to-\infty}-\frac{x^4}{x(-x^3+2)}= \\ \\ = \lim_{x\to -\infty}-\frac{x^3}{-x^3+2}=$

Raccogliamo a denominatore , dal momento che è l'infinito di ordine superiore

$=\lim_{x\to -\infty}-\frac{x^3}{x^3\left(-1+\frac{2}{x^3}\right)}=$

e semplifichiamolo con al numeratore

$=\lim_{x\to -\infty}-\frac{1}{-1+\frac{2}{x^3}}=1$

Il limite è 1 ed è finito e diverso da zero, quindi possiamo impostare il limite che definisce l'ordinata all'origine dell'asintoto obliquo

$\\ q=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-m x)=\\ \\ \\ = \lim_{x\to -\infty}\left(-\frac{x^4}{-x^3+2}-x\right)= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x}{2-x^3}=0$

Il limite è zero perché il polinomio al numeratore ha grado inferiore rispetto a quello del denominatore e all'infinito diverge meno velocemente.

La funzione ammette asintoto obliquo di equazione , che è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante.

Concentriamoci ora sul calcolo del limite per $x\to +\infty$ ripercorrendo i passaggi già visti per $x\to -\infty$

$\\ \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim_{x\to +\infty}-\frac{x^4}{-x^3+2}=\\ \\ =\lim_{x\to +\infty}-\frac{x^4}{x^3\left(-1+\frac{2}{x^3}\right)}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}-\frac{x}{-1+\frac{2}{x^3}}=+\infty$

Poiché il limite non è finito allora non può esserci alcun asintoto orizzontale destro, ma potrebbe esserci un asintoto obliquo destro. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo e ripercorriamo i passaggi già visti per $x\to -\infty$ :

$\\ m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{-x^4}{-x^3+2}}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{-x^3}{-x^3+2}=1$

e calcoliamo l'ordinata all'origine

$\\ q=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-mx)= \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\left(-\frac{x^4}{-x^3+2}-x\right)=0$

La funzione ha asintoto obliquo destro di equazione .

Consideriamo ora il limite sinistro e il limite destro per $x\to \sqrt[3]{2}$

$\\ \lim_{x\to (\sqrt[3]{2})^-}{f(x)}=-\frac{\sqrt[3]{16}}{0^{+}}=-\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to (\sqrt[3]{2})^+}{f(x)}=-\frac{\sqrt[3]{16}}{0^{-}}=+\infty$

In $x=\sqrt[3]{2}$ c'è dunque un punto di discontinuità di seconda specie e inoltre $x=\sqrt[3]{2}$ è l'equazione dell'asintoto verticale.

Derivata prima e monotonia

Calcolando la derivata prima con la regola di derivazione del quoziente di funzioni, troviamo

$\\ f'(x)=D\left[-\frac{x^4}{-x^3+2}\right]= \\ \\ \\ = \frac{-4x^3 (-x^3+2)-(-x^4) (-3x^2)}{(-x^3+2)^2}= \\ \\ \\ =\frac{x^3 [-4 (-x^3+2)-3x^3]}{(-x^3+2)^2}= \\ \\ \\ = \frac{x^3(x^3-8)}{(-x^3+2)^2}$

Studiamo il segno della derivata prima così da ottenere gli intervalli di monotonia di e gli eventuali punti stazionari, ossia i valori che annullano la derivata prima. Teniamo a mente che gli zeri della derivata prima si candidano come punti di massimo o di minimo relativi.

$f'(x)\ge 0\iff \frac{x^3 (x^3-8)}{(-x^3+2)^2}\ge 0$

Osserviamo che il denominatore è certamente positivo nel dominio di perché è un quadrato la cui base non si annulla per alcun valore: il segno della derivata prima dipenderà esclusivamente dal segno del numeratore.

$f'(x)\ge 0\iff x^3(x^3-8)\ge 0$

Studiamo il segno di ciascun fattore

$\\ x^3\ge 0\iff x\ge 0 \\ \\ x^3-8\ge 0\iff x^3\ge 8\iff x\ge 2$

Dai segni dei fattori e tenendo conto del dominio di scopriamo che la derivata prima è:

- positiva per $x<0\vee x>2$ ;

- nulla per $x=0\vee x=2$ ;

- negativa per $0<x<\sqrt[3]{2}\vee \sqrt[3]{2}<x<2$ .

La funzione dunque:

- è strettamente crescente nell'intervallo $(-\infty,0)$ e nell'intervallo $(2,+\infty)$ ;

- è strettamente decrescente nell'intervallo $(0, \sqrt[3]{2})$ e nell'intervallo $(\sqrt[3]{2},2)$ ;

- ha un punto di massimo relativo in a cui associamo il massimo relativo . Osserviamo che non può essere punto di massimo assoluto perché è una funzione illimitata;

- ha un punto di minimo relativo in a cui associamo il minimo relativo $m=f(2)=\frac{8}{3}$ . Notiamo che non può essere un punto di massimo assoluto perché la funzione non è limitata.

Per approfondire, consigliamo la lettura della lezione su come distinguere i massimi e minimi assoluti da quelli relativi.

Osserviamo che inoltre che è una funzione derivabile nel dominio perché quoziente di funzioni derivabili, pertanto non possiede punti di non derivabilità.

Studio della derivata seconda.

Lo studio della derivata seconda permette di determinare gli intervalli in cui la funzione è convessa e quelli in cui la funzione è concava, oltre ad individuare eventuali punti di flesso.

Calcoliamo la derivata seconda applicando le usuali regole di derivazione sulla derivata prima

$\\ f''(x)=D\left[\frac{x^3 (x^3-8)}{(-x^3+2)^2}\right]= \\ \\ \\ =\frac{D[x^3 (x^3-8)](-x^3+2)^2- x^3(x^3-8)D[(-x^3+2)^2]}{(-x^3+2)^4}= \\ \\ \\ = \frac{(3x^2 (x^3-8)+x^3 (3x^2))(-x^3+2)^2-x^3(x^3-8)\cdot 2(-x^3+2)\cdot(-3x^2)}{(-x^3+2)^4}= \\ \\ \\ = \frac{-12 x^2 (2-x^3)(4+x^3)}{(2-x^3)^4}= \\ \\ \\ = -\frac{12x^2 (4+x^3)}{(2-x^3)^3}$

Studiamo il segno della derivata seconda, stando attenti ai valori che la annullano, essi si candidano come punti di flesso per la funzione.

$f''(x)\ge 0\iff \frac{-12x^2 (4+x^3)}{(2-x^3)^3}\ge 0$

Osserviamo che il fattore è certamente negativo o al più nullo, perché opposto alla quantità non negativa . Studiamo il segno del fattore risolvendo la disequazione pura:

$4+x^3\ge 0\iff x^3\ge -4\iff x\ge -\sqrt[3]{4}$

e infine determiniamo il segno del denominatore

$(2-x^3)^3>0 \iff 2-x^3>0\iff x^3<2\iff x<\sqrt[3]{2}$

Grazie allo studio del segno dei singoli termini possiamo concludere che la derivata seconda è:

- positiva per $x<-\sqrt[3]{4}\mbox{ e per } x>\sqrt[3]{2}$ ;

- nulla per $x=0\vee x=-\sqrt[3]{4}$ ;

- negativa per $-\sqrt[3]{4}<x<0\mbox{ e per }0<x<\sqrt[3]{2}$ .

Non ci resta che determinare gli intervalli in cui è convessa e quelli in cui è concava.

La funzione :

- è convessa in $(-\infty, -\sqrt[3]{4})\mbox{ e in }(\sqrt[3]{2}, +\infty)$ ;

- è concava in $(-\sqrt[3]{4},0)\mbox{ e in }(0, \sqrt[3]{2})$

- ha un punto di flesso per $x=-\sqrt[3]{4}$ .

Osserviamo che non è un punto di flesso perché non avviene il cambio di concavità: in un suo intorno bucato, infatti, la derivata seconda è a segno costante (sempre negativa).

Ti serve il grafico? Puoi tranquillamente utilizzare il tool sul grafico di funzione online.

Risposta di Ifrit