Soluzioni
  • Se sai che i numeri complessi ammettono diverse rappresentazioni equivalenti, tra le quali:

    - una algebrica: si scrive un numero complesso z nella forma algebrica z=x+iy

    dove x è la parte reale e y è la parte immaginaria del numero complesso, mentre i indica l'unità immaginaria i=\sqrt{-1}

    - una geometrica ricorrendo al piano di Argand-Gauss. Si indica il punto z=x+iy con la coppia di numeri (x,y) sottintendento che l'ordinata va accoppiata con l'unità immaginaria i.

    Allora in base a quest'ultima rappresentazione chiaramente i=(0,1), poichè

    i=0+i\cdot 1

    e il punto 1) è chiarito.

    2) Ci servono le proprietà dell'unità immaginaria i:

    i^2=-1,\ \ \ i^3=-i,\ \ \ i^4=+1

    vogliamo riscrivere il numero complesso (1+i)^{-1} in una delle due forme precedenti. Hai ragione: un barbatrucco algebrico in tutto e per tutto simile alla razionalizzazione può essere d'aiuto:

    (1+i)^{-1}=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=

    nel prodotto dei denominatori usiamo la regola per il quadrato di un binomio

    \frac{1-i}{1-i^2} = \frac{1-i}{1+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i\ \to\  \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)

    3) Per calcolare (2,1)^3 ci basta scrivere il numero nella forma algebrica e svilupparne il cubo del binomio:

    (2+i)^3=(2+i)(2+i)(2+i)=(4+4i+i^2)(2+i)=\\ \\ =(4+4i-1)(2+i)=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i-4=2+11i

    ossia il punto del piano di Argand-Gauss (2,11)

    4) Consideriamo l'equazione

    k^2-5k+i(k-2)=3i

    e facciamo i conti

    k^2-5k+ki-2i-3i=0

    e facciamoci furbi: effettuiamo un raccoglimento parziale

    (k-5)k+i(k-5)=0

    (k-5)(k+i)=0

    e quindi l'unica soluzione reale è k=5, perchè k=-i la scartiamo.

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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