Soluzioni
  • Per determinare le coordinate del punto C, e far sì che il triangolo sia rettangolo in A scriviamo l'equazione della retta passante per A e perpendicolare alla retta del segmento AB. Quest'ultima ha equazione che si determina con la formula dell'equazione della retta passante per due punti

    \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}

    da cui

    y=2x+6

    Di conseguenza il coefficiente angolare della retta che stiamo cercando sarà il reciproco dell'opposto di quest'ultimo, cioè

    m=-\frac{1}{2}

    e quindi, sapendo che la retta passa per A, possiamo usare la formula della retta per un punto noto il coefficiente angolare

    y-y_A=m(x-x_A)

    che ci fornisce l'equazione cercata:

    y=-\frac{1}{2}x+1

    Sostituendo l'ordinata y=-1 troviamo l'ascissa del punto:

    x=4

    Il punto C ha quindi coordinate

    C=(4,-1).

    Per trovare le coordinate del punto D, in modo che il triangolo ABD sia un triangolo isoscele sulla base AB, devi imporre l'uguaglianza

    AD=BD

    che, con la formula della distanza tra due punti, diventa

    \sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}=\sqrt{(x_D-x_B)^+(y_D-y_B)^2}

    Qui bisogna sostituire le coordinate dei punti A,B e imporre y_D=-1.

    A questo punto devi solamente risolvere la corrispondente equazione di secondo grado in x_D, dopo aver elevato al quadrato entrambi i membri.

    Infine, puoi calcolare le due aree (e quindi il loro rapporto) calcolando, con la solita formula della distanza punto-retta:

    dist(D,AB)=DH

    e calcolare le aree come

    A_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}

    (poiché è un triangolo rettangolo, l'area è il semiprodotto dei cateti) e

    A_{ABD}=\frac{AB\cdot BH}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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