Soluzioni
  • L'area di un triangolo rettangolo isoscele si può calcolare dividendo per 2 il quadrato della misura di un cateto, o equivalentemente dividendo per 4 il quadrato della misura dell'ipotenusa del triangolo.

     

    Area triangolo rettangolo isoscele

    Area triangolo rettangolo isoscele = c2/2 = i2/4

     

    Formule per l'area di un triangolo rettangolo isoscele

    La seguente tabella riporta le formule per il calcolo dell'area di un triangolo rettangolo isoscele. Abbiamo indicato l'area con S, uno dei cateti con c (non importa quale, tanto sono congruenti) e l'ipotenusa con i.

     

    Area triangolo rettangolo isoscele con cateto

    S=\frac{c^2}{2}

    Area del triangolo rettangolo isoscele con ipotenusa

    S=\frac{i^2}{4}

     

    Le formule in tabella non vanno assolutamente imparate a memoria. Esse infatti, come vedremo tra poco, discendono dalla formula per l'area del triangolo rettangolo e dalle proprietà di cui gode il triangolo rettangolo isoscele.

    Area di un triangolo rettangolo isoscele con cateto

    Consideriamo un triangolo rettangolo qualsiasi e indichiamo con c_1, c_2 i cateti. La sua area è data dal semiprodotto delle misure dei cateti, ossia

    \mbox{Area triangolo rettangolo}=\frac{c_1 \cdot c_2}{2}

    In un triangolo rettangolo isoscele i cateti sono congruenti (c_1=c_2=c), per cui

    \mbox{Area triangolo rettangolo isoscele}=\frac{c \cdot c}{2} = \frac{c^2}{2}

    e abbiamo così la formula dell'area del triangolo rettangolo isoscele con il cateto.

    Area di un triangolo rettangolo isoscele con ipotenusa

    Per ricavare la formula per il calcolo dell'area di un triangolo rettangolo isoscele con l'ipotenusa basta applicare il teorema di Pitagora, secondo cui il quadrato della misura dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti.

    i^2=c_1^2+c_2^2

    Poiché in un triangolo rettangolo isoscele i cateti sono uguali (c_1=c_2=c):

    i^2=c^2+c^2 = 2c^2

    ossia

    i^2=2c^2

    Da qui ricaviamo c^2 in termini di i^2

    c^2=\frac{i^2}{2}

    e sostituiamo nella formula sul calcolo dell'area del triangolo rettangolo isoscele con il cateto, usando la regola per le frazioni di frazioni:

    S=\frac{c^2}{2}=\frac{\frac{i^2}{2}}{2} = \frac{i^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{i^2}{4}

    Ecco che abbiamo ricavato la formula per il calcolo dell'area del triangolo rettangolo isoscele con l'ipotenusa

    S = \frac{i^2}{4}

    Esercizi svolti sull'area del triangolo rettangolo isoscele

    Vediamo una serie di problemi svolti sul calcolo dell'area del triangolo rettangolo isoscele, soffermandoci su ogni passaggio.

    1) Ciascun cateto di un triangolo rettangolo isoscele misura 15 cm. Qual è la sua area?

    Svolgimento: dai dati forniti dalla traccia conosciamo la misura di un cateto

    c=15 \mbox{ cm}

    e ciò è più che sufficiente a calcolare l'area del triangolo:

    S=\frac{c^2}{2}=\frac{(15 \mbox{ cm})^2}{2} = \frac{225 \mbox{ cm}^2}{2} = 112,5 \mbox{ cm}^2

    2) Calcola l'area di un triangolo rettangolo isoscele la cui ipotenusa misura 18 metri.

    Svolgimento: dalla misura dell'ipotenusa

    i=18 \mbox{ m}

    possiamo calcolare direttamente l'area del triangolo con la relativa formula:

    S=\frac{i^2}{4}=\frac{(18 \mbox{ m})^2}{4}=\frac{324 \mbox{ m}^2}{4} = 81 \mbox{ m}^2

    In alternativa possiamo calcolare il quadrato della misura di uno dei cateti con il teorema di Pitagora

    c^2+c^2=i^2 \ \to \ c^2=\frac{i^2}{2}

    da cui abbiamo

    c^2=\frac{(18\mbox{ m})^2}{2}=\frac{324 \mbox{ m}^2}{2}=162 \mbox{ m}^2

    e quindi determiniamo l'area del triangolo rettangolo isoscele con l'apposita formula:

    S=\frac{c^2}{2}=\frac{162 \mbox{ m}^2}{2} = 81 \mbox{ m}^2

    3) L'altezza di un triangolo rettangolo isoscele misura 4,8 dm. Calcolare la sua area.

    Svolgimento: in un triangolo rettangolo isoscele l'altezza (h) è la metà dell'ipotenusa

    h=\frac{i}{2}

    Ciò vuol dire che l'ipotenusa è il doppio dell'altezza, dunque sapendo che h=4,8 \mbox{ dm} possiamo trovare la misura dell'ipotenusa

    i=2h = 2 \cdot (4,8 \mbox{ cm}) = 9,6 \mbox{ cm}

    e quindi l'area del triangolo rettangolo isoscele

    S=\frac{i^2}{4}=\frac{(9,6 \mbox{ dm})^2}{4}=\frac{92,16 \mbox{ dm}^2}{4} = 23,04 \mbox{ dm}^2

    ***

    È tutto! Per fare un ripasso di tutte le formule del triangolo rettangolo isoscele - click!

    Se invece vuoi leggere altri problemi svolti puoi consultare la scheda di esercizi sul triangolo rettangolo.

    Risposta di Galois
 
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