Esercizio su funzione inversa tra insiemi finiti

Question

Ho un esercizio in cui mi si chiede di mostrare che una funzione è una biezione tra due insiemi finiti, e in caso affermativo di determinarne l'inversa. Considera gli insiemi A = 1, 2,3, B = 2, 4, 6 e la funzione f:A → B che associa ad x∈ A il valore y = 2x in B. Giustifica il fatto che f è una relazione biunivoca tra A e B. Determina la sua funzione inversa.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'esercizio fornisce due insiemi di cardinalità finita e la funzione . Ci chiede di dimostrare che essa è una corrispondenza biunivoca (o biezione) tra .

Affinché sia una biezione, dobbiamo richiedere che sia una funzione iniettiva e suriettiva.

Dimostriamo l'iniettività e la suriettività calcolando esplicitamente i valori che la funzione assume quando la variabile assume uno dei valori appartenenti all'insieme .

x = 1 ⇒ f(1) = 2·1 = 2 ; x = 2 ⇒ f(2) = 2·2 = 4 ; x = 3 ⇒ f(3) = 3·2 = 6

È evidente che, comunque presi , le immagini tramite sono distinte, ossia .

Ciò dimostra l'iniettività della funzione .

La funzione è anche suriettiva, poiché ogni elemento dell'insieme è raggiunto da (almeno) un elemento dell'insieme . Osserviamo infatti che:

è raggiunto dall'elemento , infatti ;

è raggiunto dall'elemento , infatti .

Poiché per ogni elemento dell'insieme d'arrivo (o codominio) esiste (almeno) un elemento dell'insieme di partenza (o dominio) allora la funzione data è suriettiva.

Poiché è sia iniettiva che suriettiva allora è una funzione biettiva e dunque ammette funzione inversa. Per determinarla è sufficiente impostare l'equazione

e risolverla considerando come incognita .

dividiamo membro a membro per 2

Ottimo, la funzione inversa di è

.