Soluzioni
  • L'esercizio fornisce due insiemi di cardinalità finita A=\{1,2,3\},\ \ B=\{2, 4, 6\} e la funzione f(x)=2x. Ci chiede di dimostrare che essa è una corrispondenza biunivoca (o biezione) tra A\mbox{ e }B.

    Affinché f(x) sia una biezione, dobbiamo richiedere che sia una funzione iniettiva e suriettiva.

    Dimostriamo l'iniettività e la suriettività calcolando esplicitamente i valori che la funzione assume quando la variabile x assume uno dei valori appartenenti all'insieme A.

    \\ x=1\implies f(1)=2\cdot 1=2\\ \\ x=2\implies f(2)=2\cdot 2=4\\ \\ x=3\implies f(3)=3\cdot 2=6

    È evidente che, comunque presi x_1,x_2\in A\mbox{ con }x_1\ne x_2, le immagini tramite f sono distinte, ossia f(x_1)\ne f(x_2).

    Ciò dimostra l'iniettività della funzione f(x).

    La funzione f(x)=2x è anche suriettiva, poiché ogni elemento dell'insieme B è raggiunto da (almeno) un elemento dell'insieme A. Osserviamo infatti che:

    y=2 è raggiunto dall'elemento x=1, infatti f(1)=2;

    y=4 è raggiunto dall'elemento x=2, infatti f(2)=4;

    y=6 è raggiunto dall'elemento x=3, infatti f(3)=6.

    Poiché per ogni elemento dell'insieme d'arrivo (o codominio) esiste (almeno) un elemento dell'insieme di partenza (o dominio) allora la funzione data è suriettiva.

    Poiché f(x) è sia iniettiva che suriettiva allora è una funzione biettiva e dunque ammette funzione inversa. Per determinarla è sufficiente impostare l'equazione

    y=f(x)\iff y=2x

    e risolverla considerando come incognita x.

    y=2x

    dividiamo membro a membro per 2

    x=\frac{y}{2}

    Ottimo, la funzione inversa di f(x)=2x è

    f^{-1}(y)=\frac{y}{2}.

    Risposta di Ifrit
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