Soluzioni
  • Semplificare un radicale equivale a portare fuori radice eventuali fattori aventi esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

    I passi da seguire per effettuare la semplificazione di un radicale sono i seguenti:

    1) trovare le condizioni di esistenza del radicale, ossia nel caso di radici con indice pari imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero.

    2) Scomporre in fattori primi eventuali fattori numerici.

    3) Individuare i fattori con esponente maggiore o uguale all'indice della radice.

    4) Dividere ciascun esponente maggiore o uguale all'indice della radice per l'indice stesso.

    5) Il quoziente della divisione sarà l'esponente del fattore che scriveremo fuori radice, mentre il resto della divisione sarà l'esponente del fattore che rimarrà all'interno della radice;

    6) Se siamo in presenza di una radice con indice pari, riportare tra valore assoluto le quantità variabili (le lettere) che portiamo fuori radice.

    7) Togliere il valore assoluto dalle quantità che sono certamente positive.

    Se si svolgono questi sette passaggi la semplificazione del radicale potrà ritenersi correttamente conclusa.

    Esempi sulla semplificazione dei radicali

    1) Semplificare il radicale

    \sqrt{8a^2b^5}

    Innanzitutto osserviamo che il radicale è definito per b\ge 0, infatti il radicando è composto dai fattori 8 \mbox{ e } a^2 che sono due quantità sempre positive, e dal fattore b^5 che è positivo se e solo se b \ge 0.

    Fatto ciò scomponiamo in fattori primi il fattore numerico:

    8 = 2^3

    Di conseguenza

    \sqrt{8a^2b^5}=\sqrt{2^3a^2b^5}

    A questo punto, poiché tutti e tre i fattori hanno esponente maggiore o uguale dell'indice, svolgiamo la divisione tra ciascun esponente e l'indice della radice.

    3:2 = 1, \mbox{ resto } 1

    Quindi il fattore 2 avrà esponente 1 sia dentro che fuori radice.

    2:2 = 1, \mbox{ resto } 0

    Pertanto il fattore a avrà esponente 1 fuori radice ed esponente 0 dentro la radice.

    5:2 = 2, \mbox{ resto } 1

    Dunque il fattore b avrà esponente 2 fuori radice ed esponente 1 dentro la radice.

    Possiamo ora semplificare il radicale ricordando di mettere tra valore assoluto le quantità variabili, ossia le lettere a \mbox{ e } b

    \sqrt{8a^2b^5}=\sqrt{2^3a^2b^5}=2^1 \left| a^1 b^2 \right| \sqrt{2^1 a^0 b^1} = 2 |ab^2|\sqrt{2b}

    Infine, poiché b^2 è una quantità sicuramente positiva, possiamo estrarla dal valore assoluto, concludendo che

    \sqrt{8a^2b^5}= 2 |a|b^2\sqrt{2b}

    2) Semplificare il radicale frazionario

    \sqrt[3]{\frac{1}{27}a^5 b}

    Essendo in presenza di un radicale con indice di radice dispari, non serve imporre alcuna condizione di esistenza; quindi possiamo direttamente scomporre in fattori primi l'unico fattore numerico presente

    27=3^3

    Ora, i fattori con esponente maggiore o uguale all'indice sono 3^3 \mbox{ e } a^5. Svolgendo la divisione tra ciascun esponente e l'indice della radice otteniamo

    \\ 3:3=1, \mbox{ resto } 0 \\ \\ 5:3=1, \mbox{ resto } 2

    Di conseguenza:

    - il fattore 3 avrà esponente 1 fuori radice ed esponente 0 all'interno della radice;

    - il fattore a avrà esponente 1 fuori radice ed esponente 2 dentro la radice.

    Possiamo così concludere che

    \sqrt[3]{\frac{1}{27}a^5 b} = \frac{1}{3^1}a^1\sqrt[3]{\frac{1}{3^0}a^2b} = \frac{a}{3}\sqrt[3]{a^2b}

    Esercizi sulla semplificazione dei radicali

    Ora tocca a voi! Mettendo in pratica quanto visto poc'anzi svolgere i seguenti esercizi sulla semplificazione dei radicali, di cui abbiamo riportato solo il risultato.

    \\ \sqrt{a^4b^3c^2} = a^2b|c|\sqrt{b} \\ \\ \sqrt[4]{32x^4y^6} = 2|xy|\sqrt[4]{2y^2} \\ \\ \sqrt[3]{81x^3y^5z^6} = 3xyz^2\sqrt[3]{3y^2} \\ \\ \sqrt[5]{a^{10}(x+y)^5} = a^2(x+y) \\ \\ \sqrt{\frac{a^2b^2}{4c}}=\frac{|ab|}{2}\sqrt{\frac{1}{c}}

    Alla prossima! Per un ripasso sulle proprietà dei radicali - click!

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