Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di esplicitare le composizioni delle funzioni

    \bullet \ \ \ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, definita da f(n)=n+5;

    \bullet \ \ \ g:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} definita da g(m)=|m|+2

    In altri termini dobbiamo ricavare le espressioni analitiche di (g\circ f)(n) \ \mbox{e} \ (f\circ g)(m) specificando i loro insiemi di partenza (o domini) e i loro insiemi di arrivo (o codomini).

    A questo proposito analizziamo la scrittura (g\circ f)(n) riportando quello che è a conti fatti la definizione operativa di composizione.

    Dal punto di vista operativo con la notazione (g\circ f)(n) intendiamo g(f(n)), ossia la valutazione di g nella valutazione di f in n\in\mathbb{N}.

    Fissiamo quindi un numero naturale n e calcoliamo la valutazione f(n), che è a sua volta un numero naturale, per via di come è intestata la funzione f.

    Poiché f(n) è un elemento del dominio di g, ha senso calcolare g(f(n)).

    Riassumiamo la sequenza di operazioni con il seguente diagramma

    n\in\mathbb{N} \ \stackrel{f}{\longrightarrow}\  f(n)\in\mathbb{N} \ \stackrel{g}{\longrightarrow} \ g(f(n))\in\mathbb{N}

    da cui si deduce che sia il dominio che il codominio di (g\circ f)(n) coincidono con l'insieme dei numeri naturali

    \mbox{Dom}(g\circ f)=\mathbb{N} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \mbox{Cod}(g\circ f)=\mathbb{N}

    A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica di (g\circ f)(n). Per farlo bisogna sostituire f(n) a ogni occorrenza di m in g

    (g\circ f)(n)=g(f(n))=|f(n)|+2=

    dopodiché sostituiamo f(n) con la propria espressione analitica

    =|n+5|+2=

    Osserviamo che n+5 è un numero positivo, per cui il valore assoluto può essere eliminato

    =n+5+2=n+7

    L'espressione analitica di (g\circ f)(n) è quindi

    (g\circ f)(n)=n+7 \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}

    Occupiamoci della composizione (f\circ g)(m).

    Attenendoci alla definizione di funzione composta, (f\circ g)(m) si ricava valutando g nel numero intero m, dopodiché si valuta f nel numero naturale g(n). Il diagramma che riassume i passaggi è:

    m\in\mathbb{Z} \ \stackrel{g}{\longrightarrow}\  g(m)\in\mathbb{N} \ \stackrel{f}{\longrightarrow} \ f(g(m))\in\mathbb{N}

    Da esso deduciamo che l'insieme di partenza della funzione (f\circ g)(m) è l'insieme dei numeri interi, mentre l'insieme di arrivo è l'insieme dei numeri naturali

    \mbox{Dom}(f\circ g)=\mathbb{Z} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \mbox{Cod}(f\circ g)=\mathbb{N}

    A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica della composizione f\circ g

    (f\circ g)(m)=f(g(m))=

    Sostituiamo g(m) a ogni occorrenza di n in f

    =g(m)+5=

    dopodiché sostituiamo g(m) con la sua espressione analitica

    =(|m|+2)+5=|m|+7 \ \ \ \forall m\in\mathbb{Z}

    In definitiva la legge di corrispondenza di (f\circ g) è

    (f\circ g)(m)=|m|+7 \ \ \ \forall m\in\mathbb{Z}

    A differenza di quanto accaduto nel caso precedente, non possiamo eliminare il valore assoluto perché m è un numero intero e, in quanto tale, può essere negativo.

    È tutto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Analisi