Composizione di funzioni tra numeri naturali e interi

L'esercizio ci chiede di esplicitare le composizioni delle funzioni

, definita da ;

definita da

In altri termini dobbiamo ricavare le espressioni analitiche di specificando i loro insiemi di partenza (o domini) e i loro insiemi di arrivo (o codomini).

A questo proposito analizziamo la scrittura riportando quello che è a conti fatti la definizione operativa di composizione.

Dal punto di vista operativo con la notazione intendiamo , ossia la valutazione di nella valutazione di in .

Fissiamo quindi un numero naturale e calcoliamo la valutazione , che è a sua volta un numero naturale, per via di come è intestata la funzione .

Poiché è un elemento del dominio di , ha senso calcolare .

Riassumiamo la sequenza di operazioni con il seguente diagramma

da cui si deduce che sia il dominio che il codominio di coincidono con l'insieme dei numeri naturali

A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica di . Per farlo bisogna sostituire a ogni occorrenza di in

dopodiché sostituiamo con la propria espressione analitica

Osserviamo che è un numero positivo, per cui il valore assoluto può essere eliminato

L'espressione analitica di è quindi

Occupiamoci della composizione .

Attenendoci alla definizione di funzione composta, si ricava valutando nel numero intero , dopodiché si valuta nel numero naturale . Il diagramma che riassume i passaggi è:

Da esso deduciamo che l'insieme di partenza della funzione è l'insieme dei numeri interi, mentre l'insieme di arrivo è l'insieme dei numeri naturali

A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica della composizione

Sostituiamo a ogni occorrenza di in

dopodiché sostituiamo con la sua espressione analitica

In definitiva la legge di corrispondenza di è

A differenza di quanto accaduto nel caso precedente, non possiamo eliminare il valore assoluto perché è un numero intero e, in quanto tale, può essere negativo.

È tutto!