Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di esplicitare le composizioni delle funzioni

    • f:N → N, definita da f(n) = n+5;

    • g:Z → N definita da g(m) = |m|+2

    In altri termini dobbiamo ricavare le espressioni analitiche di (g circ f)(n) e (f circ g)(m) specificando i loro insiemi di partenza (o domini) e i loro insiemi di arrivo (o codomini).

    A questo proposito analizziamo la scrittura (g circ f)(n) riportando quello che è a conti fatti la definizione operativa di composizione.

    Dal punto di vista operativo con la notazione (g circ f)(n) intendiamo g(f(n)), ossia la valutazione di g nella valutazione di f in n∈N.

    Fissiamo quindi un numero naturale n e calcoliamo la valutazione f(n), che è a sua volta un numero naturale, per via di come è intestata la funzione f.

    Poiché f(n) è un elemento del dominio di g, ha senso calcolare g(f(n)).

    Riassumiamo la sequenza di operazioni con il seguente diagramma

    n∈N stackrelf longrightarrow f(n)∈N stackrelg longrightarrow g(f(n))∈N

    da cui si deduce che sia il dominio che il codominio di (g circ f)(n) coincidono con l'insieme dei numeri naturali

    Dom(g circ f) = N e Cod(g circ f) = N

    A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica di (g circ f)(n). Per farlo bisogna sostituire f(n) a ogni occorrenza di m in g

    (g circ f)(n) = g(f(n)) = |f(n)|+2 =

    dopodiché sostituiamo f(n) con la propria espressione analitica

    = |n+5|+2 =

    Osserviamo che n+5 è un numero positivo, per cui il valore assoluto può essere eliminato

    = n+5+2 = n+7

    L'espressione analitica di (g circ f)(n) è quindi

    (g circ f)(n) = n+7 ∀ n∈N

    Occupiamoci della composizione (f circ g)(m).

    Attenendoci alla definizione di funzione composta, (f circ g)(m) si ricava valutando g nel numero intero m, dopodiché si valuta f nel numero naturale g(n). Il diagramma che riassume i passaggi è:

    m∈Z stackrelg longrightarrow g(m)∈N stackrelf longrightarrow f(g(m))∈N

    Da esso deduciamo che l'insieme di partenza della funzione (f circ g)(m) è l'insieme dei numeri interi, mentre l'insieme di arrivo è l'insieme dei numeri naturali

    Dom(f circ g) = Z e Cod(f circ g) = N

    A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica della composizione f circ g

    (f circ g)(m) = f(g(m)) =

    Sostituiamo g(m) a ogni occorrenza di n in f

    = g(m)+5 =

    dopodiché sostituiamo g(m) con la sua espressione analitica

    = (|m|+2)+5 = |m|+7 ∀ m∈Z

    In definitiva la legge di corrispondenza di (f circ g) è

    (f circ g)(m) = |m|+7 ∀ m∈Z

    A differenza di quanto accaduto nel caso precedente, non possiamo eliminare il valore assoluto perché m è un numero intero e, in quanto tale, può essere negativo.

    È tutto!

    Risposta di Ifrit
 
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