L'esercizio ci chiede di esplicitare le composizioni delle funzioni
, definita da
;
definita da
In altri termini dobbiamo ricavare le espressioni analitiche di
specificando i loro insiemi di partenza (o domini) e i loro insiemi di arrivo (o codomini).
A questo proposito analizziamo la scrittura
riportando quello che è a conti fatti la definizione operativa di composizione.
Dal punto di vista operativo con la notazione
intendiamo
, ossia la valutazione di
nella valutazione di
in
.
Fissiamo quindi un numero naturale
e calcoliamo la valutazione
, che è a sua volta un numero naturale, per via di come è intestata la funzione
.
Poiché
è un elemento del dominio di
, ha senso calcolare
.
Riassumiamo la sequenza di operazioni con il seguente diagramma
da cui si deduce che sia il dominio che il codominio di
coincidono con l'insieme dei numeri naturali
A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica di
. Per farlo bisogna sostituire
a ogni occorrenza di
in
dopodiché sostituiamo
con la propria espressione analitica
Osserviamo che
è un numero positivo, per cui il valore assoluto può essere eliminato
L'espressione analitica di
è quindi
Occupiamoci della composizione
.
Attenendoci alla definizione di funzione composta,
si ricava valutando
nel numero intero
, dopodiché si valuta
nel numero naturale
. Il diagramma che riassume i passaggi è:
Da esso deduciamo che l'insieme di partenza della funzione
è l'insieme dei numeri interi, mentre l'insieme di arrivo è l'insieme dei numeri naturali
A questo punto non ci resta che determinare l'espressione analitica della composizione
Sostituiamo
a ogni occorrenza di
in
dopodiché sostituiamo
con la sua espressione analitica
In definitiva la legge di corrispondenza di
è
A differenza di quanto accaduto nel caso precedente, non possiamo eliminare il valore assoluto perché
è un numero intero e, in quanto tale, può essere negativo.
È tutto!
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