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  • Il teorema degli orlati, conosciuto anche col nome di teorema di Kronecker, è un teorema di Algebra Lineare che permette di calcolare il rango di una matrice.

    Prima di darne l'enunciato e vedere un esempio di applicazione è bene richiamare i concetti di sottomatrice, sottomatrice orlata, minore e minore orlato, che comunque abbiamo spiegato in dettaglio nella nostra lezione su sottomatrice e minori di una matrice.

    Sia A una matrice con m righe e n colonne.

    - Una sottomatrice di A è una qualsiasi matrice estratta da A eliminando un numero arbitrario di righe e/o di colonne.

    - Detta A' una sottomatrice di A, prende il nome di sottomatrice orlata ogni matrice ottenuta da A' aggiungendo una riga e una colonna di A.

    - Un minore di A di ordine p è definito come il determinante di una qualsiasi sottomatrice quadrata di A di ordine p, ossia con p righe e p colonne; se tale determinante è diverso da zero, il minore è detto non nullo.

    - Un minore orlato è, invece, il determinante di una sottomatrice di ordine p+1 ottenuta orlando una sottomatrice di A di ordine p.

    Per fissare le idee consideriamo la matrice

    A=\begin{pmatrix}2&1&3&0 \\ 4&0&1&-1 \\ 0&0&-1&5\end{pmatrix}

    Una sua sottomatrice è

    A'=\begin{pmatrix}2&1 \\ 4&0\end{pmatrix}

    ottenuta eliminando terza e quarta colonna e terza riga di A.

    Le sottomatrici orlate di A' sono

    A''=\begin{pmatrix}2&1&3 \\ 4&0&1 \\ 0&0&-1\end{pmatrix}

    ottenuta da A' aggiungendo la terza colonna di A e la parte corrispondente della terza riga, e

    A'''=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 4&0&-1 \\ 0&0&5\end{pmatrix}

    ricavata da A' aggiungendo la quarta colonna di A e la parte corrispondente della terza riga.

    Infine:

    M_2=\mbox{det}(A')=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1 \\ 4&0\end{pmatrix}=-4

    è un minore non nullo di A di ordine 2, e

    \\ M_3=\mbox{det}(A'')=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&3 \\ 4&0&1 \\ 0&0&-1\end{pmatrix}=4 \\ \\ \\ M_4=\mbox{det}(A''')=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 4&0&-1 \\ 0&0&5\end{pmatrix}=-20

    sono i minori orlati di M_2.

    Enunciato del teorema degli orlati

    Sia A una matrice con m righe e n colonne. Il rango di A è uguale a p se e solo se esiste una sottomatrice quadrata A' \mbox{ di } A di ordine p con determinante diverso da zero, e tutte le sottomatrici orlate di A' hanno determinante nullo.

    Un enunciato equivalente, che fa uso della nozione di minore, è il seguente:

    sia A una matrice con m righe e n colonne. Il rango di A è uguale a p se e solo se esiste un minore non nullo di ordine p, e ogni suo minore orlato è nullo.

    Calcolo del rango col teorema degli orlati

    All'atto pratico, per calcolare il rango di una matrice A con il teorema degli orlati si deve:

    1) fissare un elemento non nullo di A, tenendo presente che se A è una matrice nulla allora il suo rango è 0.

    2) Orlare l'elemento fissato così da ottenere sottomatrici quadrate di A di ordine 2.

    2a) Se tutte le sottomatrici orlate di ordine 2 hanno determinante nullo, il rango di A è 1, e possiamo fermarci.

    2b) Se esiste una sottomatrice A' di ordine 2 con determinante diverso da zero proseguiamo oltre.

    3) Costruire tutte le sottomatrici orlate di A' di ordine 3.

    3a) Se tutte queste sottomatrici hanno determinante nullo possiamo concludere che il rango di A è 2. Fine!

    3b) Se esiste una sottomatrice A'' di ordine 3 con determinante non nullo passiamo al punto successivo.

    4) Orlare A'' così da ottenere sottomatrici orlate di ordine 4.

    4a) Se tutte hanno determinante nullo, il rango di A è 3. Fine!

    4b) Se ne esiste almeno una con determinante non nullo continuiamo a orlare.

    L'algoritmo termina quando si giunge a una sottomatrice che non si può più orlare, cioè avente un ordine uguale al minimo tra il numero di righe e il numero di colonne A.

    Esempio

    Calcoliamo il rango della matrice

    A=\begin{pmatrix}7&1&3&2&0 \\ 2&0&1&1&1 \\ 9&1&-4&3&1 \\ 5&1&2&1&-1\end{pmatrix}

    Consideriamo l'elemento non nullo a_{11}=7 e orliamolo così da ottenere la sottomatrice di ordine 2

    A'=\begin{pmatrix}7&1 \\ 2&0 \end{pmatrix}

    Il determinante di A' è non nullo, dunque la orliamo per formare una sottomatrice di A di ordine 3.

    A''=\begin{pmatrix}7&1&3 \\ 2&0&1 \\ 9&1&-4 \end{pmatrix}

    ha determinante diverso da zero. Procedendo con la regola di Sarrus si ricava, infatti

    \mbox{det}(A'')=\mbox{det}\begin{pmatrix}7&1&3 \\ 2&0&1 \\ 9&1&-4 \end{pmatrix}=16

    Possiamo procedere oltre e orlare A''. Le sue sottomatrici orlate sono

    \\ A'''=\begin{pmatrix}7&1&3&2 \\ 2&0&1&1 \\ 9&1&-4&3 \\ 5&1&2&1 \end{pmatrix} \\ \\ \\ A^{IV}=\begin{pmatrix}7&1&3&0 \\ 2&0&1&1 \\ 9&1&-4&1 \\ 5&1&2&-1 \end{pmatrix}

    ed entrambe hanno determinante nullo (lasciamo a voi il compito di verificarlo).

    Per il teorema degli orlati possiamo concludere che il rango di A è 3.

    ***

    È tutto! Se siete alla ricerca della dimostrazione del teorema degli orlati, la trovate alla pagina dedicata al teorema di Kronecker; se invece vi occorrono altri esercizi svolti potete usare la barra di ricerca interna.

    Risposta di Galois
 
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