Soluzioni
  • Ciao Xavier, arrivo a risponderti...e mentre rispondo, ti lascio meditare sul perché la suddetta è sicuramente una serie convergente.:)

    Risposta di Omega
  • Intanto osserviamo che la serie converge perché è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente 2 (applichiamo il criterio del confronto asintotico per serie)

    \sum_{n=1}{+\infty}{\frac{1}{n^2}}

    Per calcolare la somma della serie, riscriviamo la serie nella forma

    \sum_{n=1}{+\infty}{\frac{2}{n^2+2n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{2}{n(n+2)}}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}

    Affinché il conto torni, da

    \frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}=\frac{An+2A+Bn}{n^2+n}

    dobbiamo richiedere che

    A+B=0

    2A=2

    da cui

    A=1

    B=-1

    possiamo quindi riscrivere la serie di partenza come

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n}+\frac{-1}{n+2}

    e si vede che abbiamo a che fare con una serie di cui si può calcolare facilemente la somma (assomigia molto ad una serie telescopica), infatti risulta

    1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-...

    proseguendo indefinitamente sopravvivono soltanto

    1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}

    che è la somma della serie.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi