Calcolo somma di una serie numerica fratta

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Ciao come si fa a calcolare la somma di una serie fratta come quella proposta da questo esercizio? Chiede di stabilire il carattere della seguente serie numerica, e, in caso di convergenza, trovarne la somma.


Σ_(n = 1)^(∞) 2 over n^2+2n

Domanda di xavier310

 
Soluzioni

  • Ciao Xavier, arrivo a risponderti...e mentre rispondo, ti lascio meditare sul perché la suddetta è sicuramente una serie convergente.:)

    Risposta di Omega

  • Intanto osserviamo che la serie converge perché è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente 2 (applichiamo il criterio del confronto asintotico per serie)

    Σ_(n = 1)+∞(1)/(n^2)

    Per calcolare la somma della serie, riscriviamo la serie nella forma

    Σ_(n = 1)+∞(2)/(n^2+2n) = Σ_(n = 1)^(+∞)(2)/(n(n+2)) = Σ_(n = 1)^(+∞)(A)/(n)+(B)/(n+2)

    Affinché il conto torni, da

    (A)/(n)+(B)/(n+2) = (An+2A+Bn)/(n^2+n)

    dobbiamo richiedere che

    A+B = 0

    2A = 2

    da cui

    A = 1

    B = -1

    possiamo quindi riscrivere la serie di partenza come

    Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n)+(-1)/(n+2)

    e si vede che abbiamo a che fare con una serie di cui si può calcolare facilemente la somma (assomigia molto ad una serie telescopica), infatti risulta

    1-(1)/(3)+(1)/(2)-(1)/(4)+(1)/(3)-(1)/(5)+(1)/(4)-...

    proseguendo indefinitamente sopravvivono soltanto

    1+(1)/(2) = (3)/(2)

    che è la somma della serie.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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